É D U C A T I O N

L'ENTRE-DEUX

Alice

Le Grand Chêne de la Pensée en mouvement entre Primaire et Secondaire

(Cf.Sperare nella Scuola)

L'azione didattica e pedagogica di Eironeia si concentra su un punto nevralgico – il perno stesso – del nostro sistema scolare – e non solo del nostro – essenziale per garantire quella "spontaneità" e "continuità" del processo educativo, che il nostro legislatore ha messo al centro stesso della sua attenzione.

Parliamo di quella dimensione/fase di passaggio in cui il "modo primario" e "ingenuo" di pensare la realtà e la conoscenza si trasforma nel "modo secondario", critico e razionale. Una trasformazione così radicale da avere "il valore simbolico di una rottura":

"Il passaggio dall’istruzione primaria all’istruzione secondaria pur nella continuità del processo educativo che deve svolgersi secondo spontaneità e rispetto dei tempi individuali di maturazione della persona anche e soprattutto nella scuola,esprime, sul piano epistemologico, un valore simbolico di "rottura" che dispiegherà poi le sue potenzialità nell’istruzione e nella formazione del secondo ciclo.

La scoperta del modello. Nell’età della Scuola Primaria, nonostante la ricchezza dei quadri conoscitivi elaborati nel corso del quinquennio, resta, in genere, ancora dominante la persuasione di una coincidenza tra realtà e conoscenza della realtà , tra la natura e le rappresentazioni che ce ne facciamo. Passare da una istruzione primaria ad una istruzione secondaria significa, invece, cominciare a maturare le consapevolezze che mettono in crisi questo isomorfismo ingenuo e scoprire in maniera via via più convincente e raffinata l’incompletezza di qualsiasi rappresentazione, iconica e/o logica, della realtà. Passare da un’ istruzione primaria ad una secondaria di 1° grado, in questo senso, significa confrontarsi con il problema del modello. Qualsiasi modello della realtà, a partire da quello iconico fotografico per giungere a quello più astratto e formale, infatti, non comporta una trascrizione completa e fedele dell'oggetto che vuole rappresentare, bensì una selezione di certe qualità o scopi di esso. Conoscere in maniera ‘secondaria’ vuol dire, allora, adoperare costrutti mentali esplicativi che si fondano su un uso appropriato dell’analogia." [DL 19/3/2004 Allegato C]

La nostra azione didattica è in fondo tutta qui: [re-]insegnare alla mente dell'allievo un uso appropriato dell'analogia, creando nel suo animo uno spazio – un tempo! – sufficientemente ampio e risuonante da generare da se stesso una visione autenticamente critica del mondo, e cioè consapevole dell'inesauribile ricchezza delle sue ragioni.

La sola rapprsentazione matematica non è infatti sufficiente per capire l'universo che ci circonda... al contrario, solo un nuovo e potenziato ascolto della voce del mondo, può farci attingere la luce più preziosa che irradia dai simboli della scienza:

"L’inesauribilità della realtà e il suo carattere aperto a più modelli rappresentativi spiega due altre dimensioni che accompagnano l’istruzione secondaria di 1° grado. La prima riguarda la necessità di modelli di rappresentazione degli oggetti, del mondo e della vita diversi da quelli scientifico-matematici: si tratta dei modelli di natura linguistico-letteraria, artistico-estetica, tecnologica, storico-sociale, etica e religiosa che tanta parte hanno avuto nella nostra tradizione, contribuendo con pari (quando non, in alcuni momenti storici, maggiore) dignità a ricercare la verità e a definire la nostra identità culturale [1A]. Infatti, dimensioni come l’affettività, il giudizio etico, l’appagamento estetico, il senso del limite ecc…, non trovano nei modelli matematici adeguati strumenti di rappresentazione [DL 19/2/2004 Allegato C].

La matematica e la scienza sono un frutto del mondo in cui le abbiamo trovate... ma ahimè, attualmente il Mondo stesso, in tutta la sua primaria immensa infinità, è una fonte a cui la nostra scienza – e la sua pedagogia – hanno da tempo cessato di attingere, per trarne un reale e vivo nutrimento.

È questo, infatti, il punto debole – non legislativo ma epistemologico, e dunque didattico/pedagogico – di tutti i sistemi di educazione formale del nostro mondo industrializzato e arricchito da un sapere scientifico che non riesce più ad attrarre gli esseri umani. L’Europa stessa, nel suo tutto, si sta per questo occupando di riparare i danni creati da una pessima pedagogia della scienza, attraverso programmi di larghissima estensione e ambizione, che esplicitamente incoraggiano la collaborazione tra educazione formale ed educazione informale

«« Nell’area del supporto dei giovani nella scienza, un’inchiesta è stata effettuata da un Gruppo di Esperti di Alto Livello (il "gruppo Rocard"). A seguito di questa inchiesta, i programmi di lavoro del 2008 e 2009 hanno sviluppato un approccio strutturato, che nelle scuole primarie e secondarie punta ad incrementare l'uso di tecniche di apprendimento basate sull’indagine, e che permetterà di salvaguardare la conoscenza acquisita. L’origine di queste attività è la caduta di interesse verso argomenti-chiave della scienza e della matematica, osservata in molti stati membri: fenomeno che è stato legato al modo in cui queste materie vengono insegnate fin dalla prima infanzia. Di conseguenza, l’enfasi maggiore deve essere data allo sviluppo di forme di pedagogia più efficaci, allo sviluppo delle abilità analitiche, e alle tecniche per stimolare l’intima motivazione all’'apprendimento della scienza. Un’attenzione continua sarà dedicata a rafforzare i legami fra educazione formale e informale[1AA]

Eironeia è, nella sua mission essenziale, un centro di "educazione non-formale" deciso a rimettere il sapare scientifico al servizio degli uomini e della loro felicità.

Data la natura stessa della nostra mente, una volta passata la prima età scolare, l'apprensione "primaria" e l'apprensione "secondaria" della realtà divengono due dimensioni sempre simultaneamente presenti nell'animo di un individuo, "per tutto l'arco della sua vita"... e mancare di una corretta capacità di gestire il passaggio vivente dall'una all'altra - restando dei bambini-non-adulti e degli adulti-non-bambini - significa non potersi nutrire della ricchezza analogica dell'esperienza, condannandosi a una percezione bidimensionale di noi stessi e del mondo: del mondo dei "grandi" come di quello dei "piccoli".

Al presente tuttavia, il cammino che dal "primario" porta al "secondario" viene percorso in una sola direzione, che vede nell'"isomorfismo ingenuo" del bambino, precedente alla "scoperta del modello", una condizione della mente certamente ricca, coerente e influente...

"Si può dire che [i fanciulli che entrano nella Scuola Primaria] abbiano maturato in famiglia, nei rapporti con gli altri e con il mondo, nella scuola dell’infanzia non soltanto una "loro" fisica, chimica, geologia, storia, arte ecc. "ingenue", ma che abbiano elaborato anche una "loro" altrettanto "ingenua”, ma non per questo meno unitaria, organica e significativa visione del mondo e della vita. [...] Gli allievi "accomodano" sempre i nuovi apprendimenti e comportamenti con quelli già interiorizzati e condivisi, e il ricco patrimonio di precomprensioni, di conoscenze ed abilità tacite e sommerse già posseduto da ciascuno influisce moltissimo sui nuovi apprendimenti formali e comportamentali". [DL 19/3/2004 Allegato B]

... ma in ogni caso da superare definitivamente, nella direzione di un pensiero razionale che non ha più nessuna irrinunciabile ricchezza da trarre dal "ricco patrimonio di precomprensioni" che animano il mondo dell'infanzia: non più di quanto un ragazzo di liceo possa divertirsi a giocare con l'orsacchiotto.

Ora è proprio questo definitivo abbandono nel passato della dimensione infantile, "sincretica", "magica", "animistica", "ingenua"... del pensiero umano, che rende infine impossibile una veritiera trasformazione delle credenze primarie del bambino, in un sistema dinamico, aperto e pluridimensionale di modelli formali "ritenuti soddisfacenti da chi si è posto il problema di comprenderli e di comunicarli universalmente senza cadere in equivoci".

È così in effetti che, secondo il legislatore, dovrebbe andare...:

Il modello matematico-scientifico. In questo contesto, particolare importanza è attribuita alle modalità attraverso le quali si elabora la descrizione scientifica del mondo, concentrando soprattutto l’attenzione sul processo di matematizzazione degli oggetti fisici e sulla conseguente costituzione di un modello che rimpiazza in senso letterale gli oggetti reali. Il modello matematico, per i suoi pregi di oggettività e di intersoggettività, diventa elemento di congiunzione, vero e proprio "interfaccia" tra la realtà e la dimensione delle scienze sperimentali. Si avvia, a partire dalla Scuola Secondaria di 1° grado, un processo iterativo che modifica e raffina i modelli ottenuti attraverso l’analisi, in forma sempre più logicamente organizzata, della complessità dei dati reali e la successiva verifica condotta alla luce delle prove sperimentali disponibili. Il processo continua sino a quando i risultati ottenuti su una classe significativa di dati empirici non siano ritenuti soddisfacenti da chi si è posto il problema di comprenderli e di comunicarli universalmente senza cadere in equivoci. [DL 19/3/2004 Allegato C]

... e tuttavia non è così che va.

C'è una dimensione del pensiero simbolico – dove pulsa il suo cuore più vero ed essenziale – in cui le cose proprio non riescono ad andare – in nessun paese del nostro mondo attuale – così come il nostro legislatore vorrebbe che andassero. Questo dominio terzo è quella zona intermedia tra la dimensione "primaria" e la dimensione "secondaria" della nostra mente, in cui un attento e meditato lavoro di "presa di coscienza" [J.Piaget[1B]] è necessario perché il passaggio (tanto sincronico che diacronico) dal "primario" al "secondario" possa effettivamente e non solo illusoriamente prender corpo.

Si può dire che tutta l'opera di Jean Piaget si sia concentrata unicamente su questa terza dimensione – genetica, dinamica e irriducibilmente diveniente – della nostra evoluzione mentale: tanto "primaria" quanto il mondo fatato e "sincretico" dell'infanzia, e tanto "secondaria" quanto il mondo critico e "sintetico" dell'età della ragione. Al cospetto di questa sottilissima regione della nostra esperienza tuttavia, l'attuale pedagogia della scienza (e dunque in generale tutto l'attuale sistema scolare) ha da tempo perduto la capacità di parlare dei propri oggetti in modo realmente "soddisfacente" per chi – si tratti un bambino delle elementari, di un fanciullo delle medie, di un giovane liceale o universitario, o di un adulto da [ri-]scolarizzare... – si è effettivamente "posto il problema di comprenderli e di comunicarli universalmente senza cadere in equivoci".

Non c'è un solo paese del nostro mondo in cui le cose vadano effettivamente come vorrebbe il testo della nostra programmazione scolastica!

Un esempio valido a tutte le latitudini?

20= 1

Qualunque insegnante – a qualunque livello dell'insegnamento – conosce il brivido dietro la schiena che genera in lui la mano alzata dello studente ormai secondario di secondo grado, interrogativo e perplesso di fronte alla simultanea irrefutabilità dell' evidenza primaria " 2 x 0 = 0" e dell' evidenza secondaria "20=1" ...

processo reiterativo

Il "processo iterativo" che dovrebbe "modificare e raffinare i modelli ottenuti attraverso l'analisi"... non arriva insomma mai e in nessun caso a dare all'allievo che si confronta con l'enigma scientifico del nostro "pittagorico" universo [Galileo] l'impressione di aver effettivamente capito qualcosa di "comunicabile e inequivoco". E questo perché, attualmente, proprio questo processo di raffinamento non fa che reiterare, in ogni punto/cerniera dell'intero percorso scolare/universitario, la stessa assenza di modelli analogici che siano capaci non di far capire il mondo attraverso la matematica – perché questo significherebbe che siamo già pervenuti al livello secondario della comprensione – ma innanzitutto e primariamente di far capire la matematica attraverso il mondo.

Quale è invece l'unico esempio di "zero" che siamo attualmente capaci di pescare nel mondo, e cioè in quel "ricco patrimonio di precomprensioni" primarie, che è l'unico capitale cognitivo che possa soccorrere un insegnante a corto di spiegazioni di fronte alle attese di senso degli allievi, e che non voglia dire : "è una convenzione", "si fa così", "si è sempre fatto così" etc.? Questo!

le zero pazzo

... e questo zero - divertentissimo! - va bene unicamente per il livello 0 del nostro schema[1C], e cioè per la scuola dell'infanzia/inizio scuola primaria, in cui il bimbo deve focalizzarsi sull'aspetto del segno grafico 0 - per assimilarlo al suo immaginario profondo, e infine imparare a leggerlo - e cioè prima che il senso del simbolo 0 sia apparso nella sua mente. Ma una volta che il senso del [segno-diventato-]simbolo "0" è infine entrato nell'universo mentale del bambino, accanto ai cappelli e ai guanti gialli... bisognerà che questo stesso universo manifesti dei comportamenti sensatamente attribuibili allo zero... Mentre proprio questo non succede.

"Zero" significa – a tutti i livelli dell'insegnamento attuale, in tutti i paesi del nostro mondo – che qualcosa non c'è e basta, perché per esserci dovrebbe almeno essere 1, o 2, o 3... e questo mostra che tra l'apparire-e-sparire delle cose del mondo – delle quali si dice in sostanza che o ci sono (1,2,3...) o non ci sono (=0) – e il loro stesso baluginarci davanti come simboli incompresi, la scuola attuale non sa come trasformare la primaria presenza di una cosa, nella magica voce del suo segno...

Andiamo nel concreto.

Le PRECOMPRENSIONI PRIMARIE dell'attuale immaginario didattico

Lo Zero primario

In seconda/terza elementare - fase I dello schema qui sopra - al bimbo si insegna la "Rappresentazione dei numeri naturali in base dieci " e il " significato del numero zero e del numero uno, e il loro comportamento nelle quattro operazioni"[2A] ... e questo significato non verrà mai più posto in discussione.

Al numero zero corrisponde l'"insieme vuoto", mentre agli altri numeri corrispondono pezzi estesi di una semiretta, palline o sassolini...

castelnuovo

Ecco invece un testo di "secondaria" – fase II – che però è gestito in modalità "primaria", perché l'autrice parla dei numeri e li raffigura come se i loro simboli fossero cose reali da accumulare/decumulare. Dello zero e dell'uno ci dice che sono "stupidi"... ma la comprensione non ne risulterà aumentata:

castelnuovo

L'analogia immaginativa di cui questo testo fa uso a scopo didattico – e dunque le "precomprensioni" primarie di cui si serve, proprio perché "influiscono moltissimo sui nuovi apprendimenti formali e comportamentali" del fanciullo – è quello dell' assemblaggio: soltanto se "costruire un numero" a partire da zero significa assemblare pezzi di realtà già esistenti, possiamo immaginare che tolti tutti i pezzi non ne resta più nessuno, e cioè...zero.

Ora questa idea che gli "infiniti numeri" dai naturali in su sono oggetti dati e assemblati secondo la somma/accumulo 1+1+1... pervade l'intero mondo della nostra immaginazione matematica "primaria",a tutti i livelli operatorii: contare, sommare, moltiplicare, elevare a potenza, è sempre in definitiva riconducibile a 1+1+1...

Contare "uno, due, tre..." signfica cumulare/sommare 1+1+1...e viceversa: sommare 4+3 significa contare "Uno, due, tre...":

processo reiterativo

Moltiplicare 4x3 o 5x3 significa, tanto in primaria che in secondaria di primo grado, cumulare/sommare più rapidamente 4+4+4 (o 5+5+5 ), per "ragioni di brevità" scritto come 4x3, o 5x3:

In terza elementare:

mariscotti moltiplicazione

Per la scuola media:

mariscotti moltiplicazione

Elevare a potenza 32 significa moltiplicare rapidamente - "esprimere in modo breve" - 3x3, e dunque accumulare/sommare/contare [rapidissimamente!] 3+3+3:

castelnuovo

Questa precomprensione primaria nutre il bambino delle elementari e il fanciullo delle medie (livelli I-II). Infine, attinto il secondo grado della secondaria (livello III), lo studente di liceo si confronterà con la seguente spiegazione:

"Sulla base di questa definizione di potenza, la scrittura a1 sarebbe PRIVA DI SENSO; si pone allora per convenzione che questa base è uguale ad a, cioè a1 = a.

SPIEGAZIONE – Conosciamo la proprietà delle potenze secondo la quale il quoziente di due potenze di uguale base è una potenza che ha la stessa base, e come esponente la differenza degli esponenti. Cioè : an : am = an-m.. Data questa proprietà, ne segue che an+1:an= a1. Ma an+1: an = (a•a•a•a...•a) : (a•a•a...•a) = a.
La convenzione a1=a è dunque giustificata".

Supponiamo ora a0, e consideriamo l’identità an:an= 1 (il quoziente di un numero per se stesso è uguale all’unità); se nell’eguaglianza che esprime la proprietà succitata poniamo m = n, si ottiene an:an=an-n= a0, che è una scrittura formalmente priva di significato. Siccome si è trovato direttamente an:an= 1, viene spontaneo di porre per convenzione a0= 1"[3]

In realtà, dopo dieci anni di numeri che si accumulano e decumulano davanti agli occhi della sua immaginazione fiduciosa, quello che al bimbo/fanciullo/ragazzo che abbiamo davanti viene spontaneo è questo...

domanda

... piuttosto che decidere che la moltiplicazione 3 x 0 – o in qualunque altro modo moltiplicativo si voglia tradurre la il prodotto "breve" 30, e cioè l'addizione 0+0+0 "per brevità" scritta come 30 – dà come risultato 1, dal momento che – è questo che il libro sta affermando – (0+0+0):(0+0+0)= 1

Tutto questo non ha senso, e mai ne ha avuto. Il libro lo sa, e infine lo dice, così come il bimbo/fanciullo/studente lo vede... ma ha ora 14 o 15 anni, nei libri le figure non ci sono più, e il professore dice che è così per "convenzione", "opportunità", "comodità"... perchè "per brevità" non può più dirlo, dal momento che 30 non è più "breve" di 3x0.

Ed ecco fatto! ci siamo appena persi la fiducia disorientata del nostro alunno, abbandonato a se stesso in quella regione – quel no man's land – sospesa tra "primario" e "secondario", in cui in realtà non siamo mai voluti entrare, a forza di accumulare sempre più "brevemente" numeri e palline colorate, per poi "opportunamente", "comodamente" e "suggestivamente"... confessare nonsensi. Lo abbiamo fatto ora, e lo rifaremo davanti alle più profonde e sottili verità della visione matematica del mondo: come il movimento nella quiete di Galileo, e la misura interna del numero dedekindiano

D'altra parte, se pure volessimo evitare di far intendere l'espressione an/an= 1, come la divisione (0+0+0):(0+0+0)= 1, dovremmo comunque disporre di qualcosa di meglio di fette di torta o cioccolatini dispari per far capire che né la linea dei numeri - la "number line" caldeggiata direttamente dall'OCSE[4A] - né la linea del tempo si srotolano e si tagliano come la carta igienica, mentre la linea di frazione non divide cose ma numeri - e in ultima analisi simboli - contro i quali il coltello da cucina non può nulla...ma così non è, perché dai naturali in giù, per la totalità dei paesi industralizzati e all'avanguardia nella ricerca scientifico/matematica, i numeri diventano dolcetti spaiati e pani da tagliare (non da moltiplicare!...)

pani da tagliare
pani da tagliare

Arrivare con questa strumentazione complessiva alla misteriosa apparizione di radice di due, è essersi condannati a quella stessa débacle didattica e pedagogica che Richard Dedekind in persona aveva voluto evitare, e per questo – per evitare di dire ai suoi alunni che siccome sta per suonare la campanella, allora si fa prima a calcolare 22 piuttosto che 2x2 o (ancora peggio) 2+2 – aveva creato i Numeri Reali:

"Non è propriamente rivoltante che l’insegnamento della matematica a scuola passi per un mezzo eminentemente efficace per formare l’intelletto, mentre nessun’altra disciplina (come per es. la grammatica) tollererebbe un solo istante delle simili infrazioni alla logica? Se non si vuole procedere scientificamente, o se non lo si vuol fare per mancanza di tempo, che si sia almeno onesti, e che lo si confessi francamente agli allievi , già così inclini a credere a un teorema sulla parola del maestro; sarebbe certo meglio questo, che soffocare in loro il senso della vera e nobile dimostrazione, usando delle pseudo-dimostrazioni".[4B]

Come organizzarsi allora per non offendere la nobiltà dei bambini?


La Grande Quercia dei Numeri

Il bambino che sta facendo fronte a quel surreale e "stupido" susseguirsi di 1+1+1... che proiettano le loro ombre all'infinito, ha invece appena trovato una ghianda...

ghianda

...ai piedi della grande quercia...


grande quercia

...piantata dal nonno del nonno del nonno, tanti anni fa...

Il bambino sa che il nonno del nonno del nonno, è morto da tanto tempo, così come il nonno – che ora gli sta mostrando la ghianda – anche lui morirà. Ma sa altre due cose: 1) che ora seminerà questa ghianda perchè un'altra quercia nasca, e viva, e cresca... 2) che la ghianda da cui è nata la grande quercia, ora non c'è più – così come non c'è più il nonno del nonno del nonno...– e neanche gli verrà in mente (sarebbe assurdo!) che sottraendo un ramo dopo l'altro alla grande quercia , e segando e tagliandone un pezzo dopo l'altro (-1-1-1...) potrà arrivare di nuovo...a quella stessa ghianda!. Perché la ghianda è il seme! E tutti i bambini sanno che il seme diventa la pianta, così come l'uovo diventa il pulcino, e il fiore diventa frutto!

pulcino

Queste cose i bambini le sanno... è la loro ricchezza, il loro "ricco patrimonio di precomprensioni"!

Perché allora non dire al bimbo che sa già tutte questa cose che lo zero è il seme della Grande Quercia dei Numeri
?

grande quercia

Qualunque numero n0 è lo stesso 1 ... così come tutti i rami e le foglie della Grande Quercia del nonno sono zampillati fuori dalla stessa ghianda!

Il bimbo questo lo capisce benissimo fin da prima di andare a scuola – chi non lo capisce? – e questo mondo pieno di alberi bellissmi che dal proprio seme ghianda zero ricevono la potenza di elevarsi al di sopra dalle proprie radici hiéroglyphes è prontissimo (non aspetta altro!) a seminare e far crescere e vivere nella mente dei bambini la Grande Quercia della Scienza.

I bambini tutto questo già lo sanno: e per fortuna ci sono ancora loro a potercelo re-insegnare.



Lo Zero secondario


In realtà non c'è un solo zero nella totalità delle scienze matematiche e fisiche , che non significhi una condizione di potenza, la dimensione irriducibilmente dinamica di un processo, di una forma di vita, di uno degli infiniti sensi che può prendere il mondo che ci circonda.

Per Galileo Galilei la quiete – velocità = 0 – non è che lo stato germinale del moto, il seme interiore del suo impetus, sempre attivo nella terza dimensione delle sue cinematiche manifeste[5A]:

zerosecondario

...così come per George Boole – e Brahamagupta prima di lui – il simbolo "elettivo" dello 0 non è che una condizione potenziale dello spirito [Mind, Chitta] dell'essere umano, sempre pronto a generare nuove dimensioni della Conoscenza, creando sempre nuove interpretazioni del mondo. Per Brahamagupta "0" è sunya= il Vuoto - condizione indeterminata ma significante dello spirito, precedente ma sincronica a ogni determinazione=interpretazione. Per George Boole lo zero significa "the Nothing" il Nulla, che nell'universo (1=the Universe) puramente mentale della sua Algebra non è che il limite inferiore di tutti i possibili sensi del "qualcosa" - e cioè l'espressione pura della massima potenza che la nostra mente ha di dare un [=1] senso al suo UNI[1]verso [= 1 senso] - ... così come nel galileiano "corpo perfettissimo del mondo" lo stato di Quiete non è che limite "tardissimo" del Moto, e cioè nient'altro che l'incipit di ogni sua possibile propulsione:

"In fact, Nothing [0] and Universe [1] are the two limits of class extension, for they are the limits of the possible interpretations of general names [Il Nulla 0 e l'Universo 1 sono i due limiti del'estensione di una classe, perché sono i limiti delle possibili interpretazioni dei nomi in generale][5B]

Ora le indicazioni del legislatore sulla necessità di svilluppare negli allievi la consapevolezza epistemologica di cosa sia un modello matematico, scientifico, analogico... sono, nel caso del secondo grado del sapere secondario (licei) ancora più insistite e importanti che nella fase precedente. Il "fine specifico" del sistema di licei è da sempre "la theoria"[6], e si può dire che, almeno nelle intenzioni, il secondo ciclo si propone ormai di formare generazioni di epistemologi, più che di classicisti, matematici o contabili:

"[Per tutti i licei] Conoscere criticamente concetti matematici e operare con essi per porre e risolvere problemi relativi agli aspetti strutturali della disciplina e alle sue diverse applicazioni. Comprendere il ruolo che il linguaggio matematico ricopre in quanto strumento essenziale per descrivere, comunicare, formalizzare, dominare i campi del sapere scientifico e tecnologico. Comprendere il procedimento di modellizzazione che porta alla costruzione degli strumenti matematici e inquadrarli nel più generale processo di conoscenza e razionalizzazione della realtà. [DL 17/10/2005 Allegato_A p.12]"

[Per tutti i licei] Riconoscere, nei diversi campi disciplinari studiati, i criteri scientifici di affidabilità delle conoscenze e delle conclusioni che vi afferiscono; distinguere il valore conoscitivo delle diverse scienze in relazione ai loro diversi metodi di indagine e individuare in esse, dove ci siano, le matrici classiche dei procedimenti e la loro evoluzione attraverso il pensiero moderno e contemporaneo. [DL 17/10/2005 Allegato_B p.2]
Comprendere il tipo di indagine propria delle discipline scientifiche, la modellizzazione dei fenomeni, la convalida sperimentale del modello, l’interpretazione dei dati sperimentali; collocare il pensiero matematico e scientifico nei grandi temi dello sviluppo della storia delle idee e della cultura, nella storia delle scoperte scientifiche e delle invenzioni tecnologiche. [DL 17/10/2005 Allegato_B p.3]

L'indicazione successiva è coerente con quella già vista nel caso della secondaria di primo grado:

Promozione dell’interdisciplinarità. Se è utile ordinare il sapere per discipline, non è meno utile ricordare l’impossibilità di affrontare una disciplina a prescindere dalle altre. Fare matematica implica, infatti, anche correttezza linguistica, sensibilità storica, estetica, tecnico-operativa, morale ecc. [...] La scoperta del carattere fortemente generativo del punto di vista extradisciplinare, il riconoscimento della complessità dei metodi e dei concetti che danno maggior senso alla realtà e alla vita individuale e sociale diventano, quindi, una costante dell’intenzionalità formativa.

Consapevolezza dell’analogicità del concetto di scienza. Le discipline umanistiche rivendicano una scientificità analoga a quella delle discipline esatte e naturali, anche se, ovviamente, sono diversi i criteri e le condizioni attraverso i quali possono affermare la fondatezza e l’affidabilità dei propri contenuti. Scientificità, infatti, è “rendere ragione” in modo pubblico e rigoroso della realtà che si studia e problematizzare, sul piano logico e sociale, posizioni ed ipotesi rispetto alla stessa, con serietà metodologica e atteggiamento critico. [DL 17/10/2005 Allegato_C p.3]

Putroppo anche in questo caso – e cioè nella fase III del nostro schema, alle intenzioni pedagogiche del legislatore fanno certamente riscontro le intenzioni didattiche dello scienziato:

Un cieco nato è obbligato a formarsi la sua immagine del mondo esterno attraverso esperienze che sono [del tutto differenti dalle nostre]. La sua rappresentazione di esso è tutta in termini di direzioni, lunghezze e angoli: il nostro comune concetto "spazio tridimensionale" gli è altrettanto estraneo e sconosciuto quanto quello di luce e colore. Un'attenta meditazione su queste osservazioni è altamente istruttiva. La rappresentazione che noi ci facciamo del mondo, come di qualcosa consistente di spazio e di oggetti in esso posti, ci riuscirebbe forse impossibile, o poco naturale, se le nostre relazioni con esso non fossero tanto fortemente determinate dall'avere noi due occhi, dall'essere dotati cioè di un sistema di misura che permette (dopo avere appreso a usarlo, il che avviene nei primi mesi di vita) di valutare, stando fermi, le posizioni mutue e rispetto a noi degli oggetti che ci circondano.Un medesimo ambiente esterno è certo percepito da animali diversi dall'uomo in modo per noi strani o impensati, dei quali solo oggi si comincia ad apprendere qualche poco. [...] I sensi non bastano a dare indicazioni sufficienti sul mondo circostante: tra essi e la Natura interponiamo allora strumenti di misura, che potenziano ed estendono la nostra capacità di osservare. [...] Si studiano così le proprietà di intere classi di oggetti, che vengono rappresentati mediante modelli idealizzati. Per studiare dei solidi poco deformabili, ad esempio, può convenire pensarli addirittura come indeformabili sotto non importa quale sollecitazione: si inventa così il modello astratto di "corpo rigido", che è definito appunto dalla prorpietà (irrealizzabile in Natura, ma alla quale ci si può avvicinare spesso con ottima approssimazione) di essere "rigorosamente indeformabile" [E.R.Caianiello, A.De Luca, L.M.Ricciardi, Fisica I (a uso dei licei), Gazanti:1970]

... ma anche qui come nello step precedente è l'epistemologia fondamentale del didatta stesso – la sua propria precomprensione primaria dei suoi "modelli idealizzati", ad impedire al mondo di parlare una lingua coerente coi simboli ne offre, e dunque all'allievo di comprenderli.

Andiamo nuovamente nel concreto, e chiediamoci cosa ne è al presente di quella dynamis/kinesis aristotelica, poi divenuta "impeto" in Galileo, e p = mv nella nostra Fisica di secondo/terzo ciclo.

Dentro l'"impeto" mv c'è la velocità v, che dunque va definita, e questa definizione viene ovunque (= su qualunque testo dei paesi dell'OCSE) offerta con consapevolezza epistemologica:

«Una esigenza importante è che le definizioni delle grandezze fisiche siano operatorie, e cioè che indichino esplicitamente o implicitamente come misurare la quantità che è definita. Dire per esempio che la velocità è l’espressione dell’andamento con cui si muove un corpo, non è una definizione operatoria della velocità. Dire invece che la velocità è la distanza percorsa divisa per il tempo, è una definizione operatoria della velocità» [M.Alonso, E.J.Finn, Physique Générale, Dunod: Paris 2001, vol.I p. 17, mia trad. ]

Data questa definizione operatoria – e cioè secondaria – dell'oggetto simbolico v, collochiamolo all’interno della definizione secondaria dell’oggetto p:

«La quantità di movimento di una particella è definita come il prodotto della sua massa per la sua velocità. Designandola con p, noi scriviamo: p = mv . La quantità di movimento è una nozione fisica molto importante, perché essa combina i due elementi che caratterizzano lo stato dinamico di una particella: la sua massa e la sua velocità.» [Ibid. p. 144 segg]

All’interno di questa combinazione di m e v, la «velocità» – e cioè, secondo la nostra stessa definizione operatoria: la distanza percorsa nell’unità di tempo – partecipa a una relazione di «scambio», di cui il didatta si appresta a dare ragione "giustificando" in questo modo l'introduzione di "p":

«Giustifichiamo adesso l’introduzione della nozione di quantità di movimento. Si dia una particella di massa m, di velocità v al tempo t, e di velocità v' al tempo t'. La variazione di velocità durante l’intervallo di tempo Δt = t'-t è Δv = v'-v, e la variazione di quantità di movimento è Δp = Δ(mv) = mv), perché m è una costante. Se allora abbiamo due particelle di massa m1 e m2, che interagiscono l’una con l’altra verificando l’equazione m1Δv1 = -m2Δv2, possiamo anche scrivere Δp1 = -Δp2. […] Si può esprimere questo risultato dicendo che un’interazione produce uno scambio di quantità di moto, di modo che la quantità di moto “perduta” da una delle particelle in interazione è uguale a quella “guadagnata” dall’altra particella.» [Ibid.]

Naturalmente, all’interno di questa relazione di scambio tra le differenti grandezze in questione, noi possiamo far variare tanto la velocità che la massa: Δp = Δ(mv) = mv) = vm), … e questo, secondo le parole dell’autore "arricchisce" la nozione di velocità:

«Che questa quantità di movimento sia una grandezza dinamica più ricca d’informazioni della velocità da sola, si può vederlo grazie a qualche semplice esperienza. Per esempio, un camion a pieno carico in movimento è più difficile da frenare o accelerare di un camion vuoto che procede alla stessa velocità, perché la quantità di movimento del camion a pieno carico è più grande.» [Ibid.]

Siamo dunque appena ri-entrati nella dimensione primaria del nostro rapporto col mondo: è il mondo stesso, che ci parla ora del senso dei nostri simboli... che ci parlano del senso del mondo in cui li abbiamo trovati, insieme alle ghiande, le grandi querce e i pulcini.

Riattinte dunque le nostre precomprensioni primarie, lo stesso scienziato che ci ha insegnanto il "non senso" a0 = 1 attraverso palline e dolcetti da accumulare/tagliare, dirige ora la nostra attenzione su due camion di uguale m ma di diversa v – e cioè uno lento e uno veloce – che ci devono far intendere la stringa Δp = Δ(mv) = mv) = vm), al cui interno il simbolo v indica una "distanza percorsa".

L'effetto che ne risulta è lo stesso che nel caso precedente, perché l’esempio dei due camion «arricchisce» il funtore simbolico [v = s/t] di una proprietà che si trova in un incomponibile conflitto con l’espressione «la velocità è la distanza percorsa… ».

Vediamo.

Secondo il complesso simbolico p=mv, un camion di una tonnellata che viaggia a 1km/h, e una granata di un chilo viaggiante a 1000km/h, sono portatori della stessa quantità di movimento = 1×1000 = 1000 ×1. Noi diciamo cioè all’allievo, che possiamo prendere tutto il movimento v del proiettile in volo, e trasformarlo in materia m, perché una tonnellata estremamente lenta di questa stessa materia – un camion che ci mette un’ora per percorrere un chilometro – è tuttavia dotata dello stesso movimento che anima quel proiettile ultrarapido.

Ora quest’affermazione confligge naturalmente con l’intuizione diretta di qualunque uomo, e dunque di qualunque studente di fisica, che di fronte a un grosso e lentissimo camion dirà che il camion "si muove appena" o "a stento" etc., sicché l’affermazione che "nel" camion c’è altrettanto "movimento" che nella granata superveloce, verrà presa o come semplice dettame scolastico e formula di calcolo, o necessiterà di una spiegazione, e cioè di una dimostrazione sperimentale.

Il mondo primario sopravviene in questo caso a mostrarci la sua natura non naturalis ma – come si esprime Bacone – vexata: costretta a rivelarsi nello specchio di un fenomeno puramente sperimentale.

Si tratterà dunque di dimostrare al nostro allievo perplesso che la massa di un corpo può in quanto tale essere portatrice di un "movimento" che un altro corpo compie effettivamente davanti a noi nello spazio circostante: in dieci secondi, il proiettile copre più o meno 2500 metri, mentre questo grosso e pesantissimo camion ne percorre 2 e mezzo. Se noi affermiamo che “nella” massa del camion ci sono i 2.497,5 metri del moto che il camion non ha compiuto, dovremo dimostrare in generale la possibilità della presenza di un movimento [=una velocità] all’interno di un corpo che non la realizza nello spazio esterno.

Ora questo è A) in contrasto logico diretto con la nostra definizione operatoria «la velocità è la distanza percorsa …»; B) in contrasto operatorio diretto con la possibilità di trasformare questa definizione in una pratica di misura, perché per misurare una distanza occorre appunto la distanza da misurare, mentre nel nostro caso i 2.497,5 metri di moto non identificano una distanza [l] ma una massa [m]. C) In contrasto ermeneutico diretto col senso comune del termine "movimento".

Per poter rispondere allo studente perplesso di fronte a questa massa di contrasti cognitivi, noi dobbiamo allora abbandonare la nostra definizione, e costruire un esperimento che ci metta davanti alla semplice presenza di una "velocità" in assenza di una distanza percorsa. Se lo facciamo – se abbandoniamo questa limitante definizione – noi abbiamo in effetti giustificato l’introduzione della nuova nozione p.

Il didatta accenna in effetti al contesto sperimentale in cui questa prima introduzone è stata realizzata:

«È lo scienziato olandese Christian Huygens (1629-1695) che per primo scoprì questo principio della conservazione della quantità di moto dopo aver analizzato delle collisioni tra sfere.» [Ibid.p.146]

Ora, se Alonso-Fynn descrivessero effettivamente le esperienze di Huygens/Newton che hanno sperimentalmente obbligato la nuova Meccanica a introdurre inserire v nel complesso mv – e cioè se dessimo effettivamente la parola al mondo sul senso di quei simboli – cosa ascolterebbe e vedrebbe il nostro allievo?

Vediamo.

1) "Consideriamo la sfera A, dotata di un certo movimento, e la sfera B in quiete I. La sfera A urta la B II, e in conseguenza di questo fatto, il movimento di cui la sfera A è portatrice, passa alla sfera B III che dunque percorre la distanza Δs"

sfere newton

"Questa esperienza traduce molto bene la tua [parliamo all’allievo] credenza immediata sul movimento e i corpi in movimento: un corpo è dotato di una certa velocità – questo movimento è in questo corpo – se questo corpo si muove, e cioè se percorre questo spazio Δs durante questo tempo Δt. Noi diciamo allora: il corpo A [massa m] è dotato del movimento p [ = mv] – e cioè si muove –, e questo movimento p passa al corpo B, che si muove di conseguenza. D’accordo? – D’accordo.”

Fin qui il nostro allievo capisce perfettamente, e dunque resta perplesso, e in attenta attesa (suspense!) perché gli abbiamo appena detto che questo movimento può essere presente anche se il corpo non si muove.

2) "Disponiamo allora i corpi A e B nella successione ABCDE:

sfere newton

"Allo stesso modo che nel caso 1), in 2) II A urta B, ma né B, né C, né D si muovono, mentre in III si muove la E allo stesso modo in cui in 1) III si era mossa la B, percorrendo la distanza Δs. – Va bene?" – "Ok..."

L’allievo si incuriosice e comincia ad animarsi...

3) "Se dunque noi abbiamo affermato in 1) che il movimento= velocità era passato da A a B grazie al contatto in II, siamo costretti a dire la stessa cosa adesso, e cioè che anche in 2) II il movimento di A passa – e dunque è – in B (e cioè B è in movimento) senza che tuttavia B percorra alcuna distanza nello spazio."

"…"

4) "Dunque, in 2) II, la massa di B è portatrice in quanto tale dello stesso movimento che il corpo E effettivamente compie in III davanti ai nostri occhi, percorrendo la distanza di spazio Δs."

Il nostro allievo perplesso è adesso… ancora più perplesso!...

Tenta allora di obiettare che... "comunque... un po'... la B deve essersi mossa! Noi non lo vediamo, ma si è certamente mossa! ... è una faccenda di soglia della percezione: i nostri sensi sono imperfetti!

"Bene... la tua mente si ribella all’idea della perfetta immobilità di un corpo, mentre ne spinge un altro. Integriamo allora questo esperimento in cui le sole sfere in oscillazione sono quelle delle estremità (A e B) con un altro esperimento"

in cui facciamo oscillare la totalità (ABCDE) delle sfere presenti, con la sola condizione che la E sarà animata da un’oscillazione nel senso contrario a quello delle altre... OK?" – "OK."

sfere newton

4)"In t1 A oscilla verso destra fino all’istante t2 dell’urto tra la E e la D. L’effetto di quest’ urto è che la A inverte il senso della sua oscillazione partendo verso sinistra senza che nessun corpo la "spinga",perché nel frattempo BCDE viaggiano verso destra... ma dobbiamo dire anche che la sfera B spinge = mette in movimento la A verso sinistra, pur muovendosi verso destra …

Dunque, se un corpo può spingerne un altro muovendosi nel verso contrario al verso del movimento che imprime al corpo spinto, a fortiori è concepibile che lo "spinga" pur essendo perfettamente immobile".

"... !!! ..."

Il mondo – direttamente lui, il Mondo in persona – ha appena fatto quello che nessuna epistemologia del "modello ideale" e della "convenzione opportuna" potrà mai fare: ha cioè convinto il nostro allievo a credere ai suoi occhi: un corpo può ospitare e dunque trasmettere del moto, senza spostarsi di un millimetro.

In presa diretta col mondo, ascoltandolo dalla sua stessa voce, che non è "opportuna" né "comoda" né "priva di senso", bensì magica e meravgliosa... ("mostrami l'istesso l'acqua" dice Sagredo a Salviati) il nostro ragazzo sa ora che le dimensioni della scienza appartengono a un universo che non è quello del senso comune, e che la sua mente deve essere educata a muovercisi, altrimenti resterà per sempre un... bambino? No!... quando il bambino era bambino... queste cose le sapeva tutte!

Diremo invece che l'uomo che non accetta di incamminarsi veramente sul sentiero infinito delle analogie della scienza, non potrà mai ricordarsi di quello che sapeva così bene quando era bambino.

In conclusione, all'arrivo di mv la nozione di "velocità" ha semplicemente cessato di poter essere una «distanza percorsa», così come davanti ad a0 = 1 i numeri hanno per sempre cessato di poter essere palline, e grazie a Dio sono ridiventati ghiande: dato p = mv, e la voce inequivoca delle sfere di Newton, il movimento (v) sa parlarci – senza intermediari – del suo senso e della sua esistenza, in un corpo perfettamente immobile.

Immobile, come la Grande Quercia in inverno

.
quercia e sfere

Ciononostante, la «definizione operatoria» con cui v è stata introdotta – e cioè l’identificazione logica dell’entità sperimentale v, che ci permette di determinarne il valore delle sue variazioni – non subirà più, nel corso di questo testo – né di alcun altro testo, in nessun paese del mondo – alcuna modificazione effettiva e conseguente, anche se così formulata essa non può dirigere alcuna operazione concreta di misura, in tutti quei casi in cui la «distanza percorsa» si sia trasformata in una massa in quiete.

Questo cosa significa? Significa che lo abbiamo rifatto! abbiamo appena riabbandonato l'allievo perplesso in un posto che non è né "primario" né "secondario"... ma dove la campanella sta per suonare, devi fare in fretta e in breve consegnare il compito anche se non hai capito niente di quello che hai scritto, né cosa effettivamente vogliono da te.

Le due direttrici dell'insegnamento

In sintesi, si danno due direttrici dell'apprendimento, sempre simultaneamente attive: quella che porta dal mondo alla matematica (direttrice primaria) e quella che porta dalla matematica al mondo (direttrice secondaria).

Quello che noi insegnamo in Eironeia è a percorrerle tutt'e due in entrambe le direzioni.

IIl mondo è matematico.

Questa verità galileiana definisce la direttrice primaria dell'apprendimento, percorsa da tutti i grandi spiriti della nostra scienza: senza la capacità di riascoltare in diretta la voce delle cose, e cioè l'armonia matematica del mondo – coincidente con la sua stessa più intima realtà – non c'è modo di comprendere la lingua criptata dei simboli, che per lo sguardo semplice del bambino – e dunque di chiunque – non sono che cose d'inchiostro trovate un giorno a scuola, e cioè nello stesso mondo delle ghiande, dei fiori, del sole e dei pulcini.

IILa matematica è un'immagine logica del mondo.

Questa verità wittgensteiniana definisce la direttrice secondaria dell'apprendimento. Non si può solo ascoltare l'armonia matematica nel mondo: si deve imparare ad eseguirla. Il bimbo che sa ascoltare il mondo deve diventare l'adulto che sa parlare del mondo, e per questo deve imparare a muovere la propria mente in analogia e risonanza con i movimenti delle cose... e non ci sono che i simboli – semi dinamici di potenza mentale – che possono insegnarglielo.









[1A] Per nutrire questa dimensione di inesauribilità simbolica e archetipica dell'apprendimento scolare – la dimensione del Simbolo Letterario Eironeia ha in programmazione permanente il ciclo Epos pros Epos.

[1AA] VII Programma Quadro-- Scienza e Società" - UE – VII Programma Quadro «CALL FICHE 1 Call identifier: FP7-SCIENCE-IN-SOCIETY-2009-1 - Scadenza: Martedì 13 Gennaio 2009 ore 17.00.00, Brussels local time. - ACTION LINE 2: Rafforzamento del potenziale, espansione degli orizzonti ACTIVITY 5.2.2 - Giovani e argomenti di scienza SiS-2009-2.2.3.1 – Supportare e coordinare azioni di innovazione nella classe: divulgazione ed uso di metodi d’insegnamento basato sulla domanda su ampia scala in Europa - Area 5.2.2.3. Azioni di coordinazione e ricerca su nuovi metodi di educazione alla scienza. »

[1B] "Freud arriva fino a paragonare la coscienza a un "organo di senso interno", sul presupposto – secondo questa prospettiva – che la sensazione si limita a ricevere una materia esterna, senza essere suscettibile di trasformarla. Tuttavia, nessuno a contribuito più di lui a farci considerare l'"inconscio" come un sistema dinamico in continua attività. Le nostre ricerche conducono a rivendicare dei poteri analoghi in favore della coscienza stessa. In effetti, precisamente nella misura in cui si desidera marcare e conservare delle differenze tra inconscio e coscienza, bisogna bene che il passaggio dall'uno all'altra esiga delle ricostruzioni, e non si riduca semplicemente a un processo di rischiaramento: è per questo che ognuno dei nostri capitoli ha mostrato che la presa di coscienza di uno schema d'azione lo trasforma in un concetto, questa presa di coscienza consistendo dunque essenzialmente in una concettualizzazione". [J.Piaget, La Prise de Conscience, Paris 1974]

[1C] È infatti così che l'autore Mario Alberto Losa del bellissimo "Alfabetiere Pedagogico" ha pensato i suoi "Numeri Pazzi" platonico/comeniani per insegnare a leggere al "Piccolo Pitagora".

[2A] [DL 19/3/2004 Allegato B]

[3]Chiellini/Santoboni, Elementi di Algebra secondo la teoria degli insiemi. Per i ginnasi e per la prim classe dei licei scientifici, Torino 1981

[4A] "Numeri e spazio. Il circuito parietale è fondamentale per la numeracy, ed è ugualmente implicato nella rappresentazione spaziale. Queste due funzioni sembrano strettamente legate (Dehaene, 1997). Così, molti pazienti affetti da discalculia hanno anche dei disturbi di ordine spaziale : distinguere la destra dalla sinistra, per esempio (Mayer ed altri, 1999). In più, i bambini mettono i numeri nello spazio prima ancora che la scuola gli faccia scoprire la retta graduata ("la linea dei numeri"). La tendenza ad associare numeri e spazio sembra biologica; i metodi pedagogici che comparano il mondo dei numeri a un luogo fisico sono dunque delle rappresentazioni formali di un concetto intuitivo, e permettono di modellizzare concretamente dei concetti astratti. Utilizzare in classe la retta graduata e degli oggetti concreti (cubi, stecchini, strumenti etc.) può dunque rafforzare la comprensione matematica intuitiva dei bambini. Il legame forte che esiste a livello cerebrale tra numeri e spazio suggerisce che : i metodi pedagogici che legano numeri e spazio sono efficaci. La ricerca lo conferma, del resto. Un programma diretto da Griffin, Case e Siegler (1994), centrato sull’associazione tra numeri e spazio, è molto ben riuscito. Esso sfruttava la retta graduata così come diversi oggetti da manipolare. Quaranta sequenze di venti minuti hanno permesso a dei bambini in difficoltà di raggiungere i migliori allievi della loro classe.» [OCSE 2007, Comprendre e cerveau. Naissance d'une nouvelle science de l'apprentissage. ]. NB- Uno dei perni fondamentali di tutta la ricerca e la didattica condotte in EIRONEIA sta nella restituzione della "linea del tempo" al tempo e all'evento, che ne sono i legittimi proprietari. Trasformare tutto quello che la nostra mente immagina come una linea (un "vettore", un "segmento", un cerchio...) in una estensione di spazio, è stato un errore cruciale della fisica/matematica del secolo scorso, e questo errore stato ereditato dall'attuale didattica della scienza , che interpreta dunque la naturale "number line" dell'immaginazione infantile (e non) in termini spaziali, e cioé non puramente dinamico/temporali. Questo condanna la linea di frazione che introduce i razionali, e la nozione di incommensurabilità che su di essa si fonda (come rapporto non frazionario tra il segmento di un lato e il segmento di una diagonale) a non poter essere capite, proprio come aveva temuto Richard Dedekind, fondando di conseguenza la continuità dei numeri non sul fenomeno immaginativo e spaziale della retta, ma sull'operazione puramente mentale di creazione di una nuova classe numeri. [cf.nota seguente]. Sul recupero del Tempo puro e dell'Evento come dimensioni irriducibile della scienza e dell'esperienza umana, cfr. la mia conferenza su Poincaré, Proust e Piaget e il mio articolo La genesi della Scienza: Poincaré e il senso dell'evento [Prima parte in francese] apparso su Dogma, novembre 2008. Sulla capacità del bambino di contare/misurare innanzitutto eventi prima che oggetti, cf. il mio [in francese] I prolegomeni del bambino ad ogni metafisica futura: il senso dell'identità numerica, l'identità numerica del senso in (ENGL) in Dogma marzo 2008..

[4B] Richard Dedekind, Correspondance du 1876 avec Rudolph Lipschitz sur les nombres irrationnels Paris :2006, mia trad.

[5A] Queste figure sono la sintesi immaginativa della risposta di Sagredo a Salviati, che trova la dimensione "zero" del moto (impetus) come fondo dinamico permanentemente presente, in ogni istante del suo andamento di cinematico (la "dinamica" di Galileo è tanto la matematizzazione della nozione aristotelica di potenza (dynamis) che l'erede della distinzione tra kinesis e kinema che in Aristotele esprime la continuità del moto come "atto di potenza in quanto potenza". Lo zero, e l'elevazione al quadrato dei "tempi", sono stati gli strumenti di questa rivoluzione). "SAGR. Adunque voi credete che un sasso, partendosi dalla quiete, ed entrando nel suo moto naturale verso il centro della Terra, passi per tutti i gradi di tardità inferiori a qualsivoglia grado di velocità? SALV. Credolo, anzi ne son sicuro, e sicuro con tanta certezza, che posso renderne sicuro voi ancora. SAGR. Quando in tutto il ragionamento d'oggi io non guadagnassi altro che una tal cognizione, me lo reputerei per un gran capitale.[...] SALV. E se io dirò che l'impeto aquistato in qualsivoglia luogo del suo moto sia tanto che basterebbe a ricondurla a quell'altezza donde si partí, me lo concedereste? SAGR. Concedere'lo senza contradizione, tuttavolta che la potesse applicar, senz'esser impedita, tutto il suo impeto in quella sola operazione, di ricondur se medesima, o altro eguale a sé, a quella medesima altezza: come sarebbe se la Terra fusse perforata per il centro, e che, lontano da esso cento o mille braccia, si lasciasse cader la palla; credo sicuramente che ella passerebbe oltre al centro, salendo altrettanto quanto scese: e cosí mi mostra l'esperienza accadere d'un peso pendente da una corda, che rimosso dal perpendicolo, che è il suo stato di quiete, e lasciato poi in libertà, cala verso detto perpendicolo e lo trapassa per altrettanto spazio, o solamente tanto meno quanto il contrasto dell'aria e della corda o di altri accidenti l'impediscono. Mostrami l'istesso l'acqua, che scendendo per un sifone, rimonta altrettanto quanto fu la sua scesa.[Galileo Galilei, Dialogo sopra i Massimi Sistemi, Giornata Prima]

[5B] George Boole fonda l'interezza della sua fisica della mente umana su equazioni dichiarate senza senso dai nostri testi pieni di torte e palline. Altrimenti detto: la totalità delle nostre scienze e della nostra tecnologia attuale si fonda su una logica e una interpretazione del mondo e del numero, che la nostra didattica e la nostra pedagogia non sono in condizioni di insegnare, data la loro epistemologia fondametale:

« CAPITOLO II. SEGNI E LORO LEGGI – Ora tra i simboli di Numero non ce ne sono che due, e cioè 0 e 1, che siano soggetti alla stessa legge formale. Noi sappiamo che 02 = 0 , e che 12 = 1 , considerata come algebrica, non ha altre radici oltre 0 e 1. Perciò, invece di determinare la misura dell'accordo formale dei simboli di Logica con quelli di Numero in generale, è più immediato compararli a simboli di quantità che ammettano solo i valori 0 e 1. Concepiamo, allora, un'Algebra in cui i simboli x, y, z, etc. ammettono indifferentemente i valori 0 e 1, e solo questi valori. Le leggi, gli assiomi e i processi di un'Algebra di questo tipo saranno identici, nella loro intera estensione, alle leggi, gli assiomi e i processi di un'Algebra della Logica. Solo una differenza di interpretazione le dividerà. […] Proposizione II 13. Determinare il valore logico e il significato dei simboli 0 e 1. Il simbolo 0, come utilizzato in Algebra, soddisfa la seguente legge formale, 0 × y = 0, or 0y = 0, qualsiasi numero y esso rappresenti. Perché questa legge formale sia rispettata nel sistema della Logica, dobbiamo assegnare al simbolo 0 un'interpretazione tale che la classe rappresentata da 0y sia identica alla classe rappresentata da y0, qualunque sia la classe y. Un minimo di riflessione mostrerà che questa condizione è rispettata se il simbolo 0 rappresenta Nulla. Secondo la precedente definizione, noi possiamo dire che Nulla è una classe: in effetti, Nulla e Universo sono i due limiti dell’estensione di una classe, perché sono i limiti i delle possibili interpretazioni dei nomi generali, nessuno dei quali può riferirsi a meno individui, di quelli sono compresi nel Nulla, o a più di quelli che sono contenuti nell'Universo. […] Una minima considerazione mostrerà che la classe rappresentata da 1 deve essere "l'Universo", poiché questa è l'unica classe in cui si trovano tutti gli individui che esistono in qualsiasi classe. Perciò la rispettiva interpretazione dei simboli 0 e 1 nel sistema della Logica sono Nulla e l'Universo. [...] CAPITOLO XXII. Costituzione dell’Intelletto – C’è ancora un’altra istanza connessa agli oggetti generali di questo capitol, nel quale la collazione di verità di fatto, tratte da fonti differenti, suggerisce un’interessante serie di rflessioni. Essa consiste nella comparazione delle leggi del pensiero alle forme esteriori che le speculazioni fisiche delle prime epoche, e la speculazione metafisica in tutte le epoche, hanno teso ad assumere. […] La natura umana, del tutto indipendentemente dalle sue tendenze osservate o manifestate, è vista come costituita in un certo rapporto con la Verità; e questa relazione, considerata come soggetto di una conoscenza speculativa è in più, in quanto suscettibile di essere studiata in tutti i dettagli, tanto degna di venire indagata in questo modo, quanto lo sono tanti settori della scienza fisica, considerati sotto questo aspetto. [George Boole - An investigation of the laws of thought, Cambridge 1854]

[6]DL 17/10/2005 Allegato_C p.2