EUCLIDE - Les Eléments

LIVRE I

Définitions

1. Un point est ce dont il n'y a aucune partie.
2. Une ligne est une longueur sans largeur.
3. Les limites d'une ligne sont des points.
4. Une ligne droite est celle qui est également disposée par rapport aux points qui sont sur elle.
5. Une surface est ce qui a seulement longueur et largeur.
6. Les limites d'une surface sont des lignes.
7. Une surface plane est celle qui également disposée par rapport aux droites qui sont sur elle.
8. Un angle plan est l'inclinaison, l'une sur l'autre, dans un plan, de deux lignes qui se touchent l'une l'autre et ne sont pas disposées en ligne droite.
9. Et quand les lignes contenant l'angle sont droites, l'angle est appelé rectiligne.
10. Et quand une droite, ayant été élevée sur une droite fait les angles adjacents égaux entre eux, chacun de ces angles égaux est droit, et la droite qui a été élevée est appelée perpendiculaire à celle sur laquelle elle a été élevée.
11. Un angle obtus est celui qui est plus grand qu'un droit.
12. Un angle aigu celui qui est plus petit qu'un droit.
13. Une frontière est ce qui est limite de quelque chose.
14. Une figure est ce qui est contenu par quelque ou quelques frontière(s).
15. Un cercle est une figure plane contenue par une ligne unique {celle appelée circonférence} par rapport à laquelle toutes les droites menées à sa rencontre à partir d'un unique point parmi ceux qui sont placés à l'intérieur de la figure, sont {jusqu'à la circonférence du cercle} égales entre elles.
16. Et le point est appelé centre du cercle.
17. Et un diamètre du cercle est n'importe quelle droite menée par le centre, limitée de chaque côté par la circonférence du cercle, laquelle coupe le cercle en deux parties égales.
18. Un demi-cercle est la figure contenue par le diamètre et la circonférence découpée par lui ; le centre du demi-cercle est le même que celui du cercle.
19. Les figures rectilignes sont les figures contenues par des droites; trilatères : celles qui sont contenues par trois droites, quadrilatères par quatre ; multilatères par plus de quatre.
20. Parmi les figures trilatères est un triangle équilatéral celle qui a les trois côtés égaux ; isocèle celle qui a deux côtés égaux seulement ; scalène celle qui a les trois côtés inégaux.
21. De plus, parmi les figures trilatères est un triangle rectangle celle qui a un angle droit; obtusangle, celle qui a un angle obtus ; acutangle, celle qui a les trois angles aigus.
22. Parmi les figures quadrilatères est un carré celle qui est à la fois équilatérale et rectangle ; est oblongue celle qui est rectangle mais non équilatérale ; un losange, celle qui est équilatérale mais non rectangle ; un rhomboïde, celle qui a les côtés et les angles opposés égaux les uns aux autres mais qui n'est ni équilatérale ni rectangle ; et que l'on appelle trapèzes les quadrilatères autres que ceux-là.
23. Des droites parallèles81 sont celles qui étant dans le même plan et indéfiniment prolongées de part et d'autre, ne se rencontrent pas, ni d'un côté ni de l'autre.

Postulats

1. Qu'il soit demandé de mener une ligne droite de tout point à tout point.
2. Et de prolonger continûment en ligne droite une ligne droite limitée.
3. Et de décrire un cercle à partir de tout centre et au moyen de tout intervalle.
4. Et que tous les angles droits soient égaux entre eux.
5. Et que, si une droite tombant sur deux droites fait les angles intérieurs et du même côté plus petits que deux droits, les deux droites, indéfiniment prolongées, se rencontrent du côté où sont les angles plus petits que deux droits.

Notions communes

1. Les choses égales à une même chose sont aussi égales entre elles.
2. Et si, à des choses égales, des choses égales sont ajoutées, les touts sont égaux.
3. Et si, à partir de choses égales, des choses égales sont retranchées, les restes sont égaux.
4. {Et si, à des choses inégales, des choses égales sont ajoutées, les touts sont inégaux.
5. Et les doubles du même sont égaux entre eux.
6. Et les moitiés du même sont égales entre elles.
7. Et les choses qui s'ajustent les unes sur les autres sont égales entre elles.
8. Et le tout {est} plus grand que la partie.
9. {Et deux droites ne contiennent pas une aire.}

Propositions

LIVRE VII

Définitions"

1. L'unité est ce relativement à quoi tout objet est appelé "un".
2. Un nombre est une multeplicité synthétique d'unités.
3. Un nombre est "partie" d'un nombre plus grand, quand il le mesure exactement.
4. Un nombre est "parties" d'un nombre plus grand, quand il le divise pas exactement.
5. Un nombre est "multiple" d'un autre plus petit s'il en est exactement mesuré.
6. Nombre "pair" est un nombre divisible par deux.
7. Nombre "impair" est un nombre non divisible par deux, ou différent d'une unité d'un nombre pair.
8. "Pairement pair" est un nombre mésuré par un nombre pair, selon un nombre pair.
9. "Pairement impair" est un nombre mesuré par un nombre pair, selon un nombre impair.
10. "Impairement pair" est un nombre mesuré par un nombre impair, selon un nombre pair.
11. "Impairement impair" est un nombre dont mesuré par un mobre impair selon un nombre impair.
12. "Nombre premier" est un nombre qui est mesuré seulement par l'unité.
13. "Premiers entre eux" sont des nombres qui qui ont seulement l'unité comme mesure commune.
14. "Nombre composé" est un nombre mesuré par un autre nombre.
15. Deux ou plusieurs nombres sont composés entre-eux, s'ils sont mésurés par un nombre comme mesure commune.
16. Un nombre est dit "multiplier" un autre nombre lorsque en sommant le multiplié à lui même autant de fois que sont les unités dans le multiplicateur, résulte un autre nombre.
17. Lorsque deux nombres qui se multiplient réciproquement engendrent un nombre, le nombre ainsi engendré est dit "plan", et les nombres multipliés sont dits ses "côtés".
18. Lorsque trois nombres qui se multiplient réciproquement engendrent un nombre, le nombre ainsi engendré est dit "solide", et les nombres multipliés sont dits ses "arêts".
19. ...
20. ...
21. ...
22. ...
23. ...