Platon

FICHE 1 - La Ligne de la Connaissance

«Prends donc une ligne coupée en deux segments inégaux, l'un représentant le genre visible, l'autre le genre intelligible, et coupe de nouveau chaque segment suivant la même proportion; tu classeras alors les divisions obtenues d'après leur degré relatif de clarté ou d'obscurité. [VISIBLE] Dans le monde visible un premier segment, celui des images - j'appelle images d'abord les ombres, ensuite les reflets que l'on voit dans les eaux, ou à la surface des corps opaques, polis et brillants, et toutes les représentations semblables; le second segment correspond aux objets que ces images représentent, j'entends les animaux qui nous entourent, les plantes, et tous les ouvrages de l'art. Je le pose. Consens-tu aussi à dire, demandai-je, que, sous le rapport de la vérité et de son contraire, la division a été faite de telle sorte que l'image est à l'objet qu'elle reproduit comme l'opinion est à la science ? – J'y consens fort bien. » [Platon, République VI, 509b]

ligne de la connaissance
Fig.1

La "ligne de la connaissance" est une ligne graduée qui dispose tout l'existant/connaissable sur une échelle continue du moins vrai au plus vrai (du moins authentique au plus authentique, du moins réel au plus réel...) en classifiant tout selon la polarité REALITE/IMAGE ("la vérité et son contraire" dit Socrate) ainsi que sur l'echelle continue de la température nous ordonnons tout ce qui en a une selon l'opposition chaud/froid: du moins chaud/plus froid au plus chaud/moins froid.

A la différence de l'echelle scalaire de la température, toutefois, Platon attribue à sa ligne une ratio, une proportionnalité interne: le résultat de la première subdivision ("diaïresis") sont deux segments inégaux (Visible/Intelligible) liés entre eux par un certain rapport V/I, qui se repète à l'interieur de chacun des deux à la suite d'une seconde subdivision, obtenue "par recurrence". Donc : V1/V2:I1/I2=V/I.

Ce qui nous intéresse de cette proportionnalité interne est le fait crucial qu'il s'agit d'une mesure d'intensité et non pas du dénombrement des éléments discrets contenus dans les 4 "ensembles" représentés par chacun des sous-segments. Autrement dit: Platon parle ici d'une progression géométrique comme par ex. 2:4=4:8, où la même "raison" se repète recursivement au fur et à mesure qu'on avance. Dans notre cas, ce qui progresse est la quantité de vérité/réalité contenue dans l'objet connu (sa "température" ontologique ou métaphysique). Nous allons voir tout de suite que ce degré croissant de vérité/réalité de l'objet ne dépend que de la force mentale que notre âme projette sur lui.

La fameuse ligne de Platon est donc un vecteur qui mesure l'intensité avec laquelle nous projetons notre force de connaissance sur le monde.

ligne2
Fig.2

[INTELLIGIBLE] «Examine à présent comment il faut diviser le monde intelligible. – Comment ? - De telle sorte que pour atteindre l'une de ses parties l'âme soit obligée de se servir, comme d'autant d'images, des originaux du monde visible, procédant, à partir d'hypothèses, non pas vers un principe, mais vers une conclusion; tandis que pour atteindre l'autre, qui aboutit à un principe anhypothétique, elle devra, partant d'une hypothèse, et sans le secours des images utilisées dans le premier cas, conduire sa recherche à l'aide des seules idées prises en elles-mêmes. Je ne comprends pas tout à fait ce que tu dis. – Eh bien! Reprenons-le; tu le comprendras sans doute plus aisément après avoir entendu ce que je vais dire.»

Avant d'entendre l'explication de Socrate, concentrons-nous sur le schéma en Fig.3.

ligne1
Fig.3

Tout le long de notre parcours rectiligne, nous contemplons toujours la même chose: un tableau noir avec un morceau de craie (en bas à droite) et un trait de craie réalisé avec ce même morceau, au centre du tableau noir.

Or nous pouvons regarder à ce même trait de craie de quatre façons différentes.


[4]Comme une image (un dessin) du morceau de craie avec lequel nous l'avons tracé. Pour le voir comme cela, nous mettons activement en fonction notre capacité de régarder aux objets du monde sensible comme à des images d'autres objets de ce même monde: l'IMAGINATION ("eikasìa").


[3] Comme un objet en craie (une pellicule, une trace...) aussi réel que le morceau de craie dont à la rigueur il faisait partie avant de rester collé au tableau noir. Dans ce cas nous cessons de le regarder comme l'image de quelque chose d'autre, pour le considérer en sa réalité nue et crue, aussi concrète et tangible que celle du tableau noir où il est collé, et du morceau de craie dont il est à son tour un morceau. Socrate dit que la faculté mise en fonction dans ce cas est la FOI (pistis), et sinous méditons sur le fait que ce n'est qu'à nous de le considérer comme une "chose" plutôt que comme une image, nous commençons à comprendre que pour avoir une "réalité" devant nous, il faut que nous nous activions pour la croire réelle. Et en fait, cette faculté de croire réel quelque chose s'appelle depuis toujours la FOI.


[2] A nouveau comme une image (le segment "AB") , qui n'est toutefois pas l'image d'un objet comme le morceau de craie avec lequel nous venons de tracer ce même AB - et qui vient à son tour de se transformer lui aussi en un solide géométrique (le parallélepipède"C") - mais d'un type de "choses" que l'on ne saurait pas repérer parmi les objets de notre quotidien.

En fait, un "segment" est une image porteuse d'un ensemble de propriétés rigoureusement universelles: il nous permet une généralisation qu'aucune "image" en [4] ne pourra jamais nous permettre. C'est en ce sens que Socrate dit que notre esprit se sert en [2] des objets réels qu'il trouve en [3] comme d'autant d'images d'une réalité ultérieure, et qui est de sa part totalement independante de leur constitution matérielle et de leurs caractéristiques particulières.

Autrement dit, en contemplant en [4] notre trait de craie, nous pouvons sans doute saisir certains caractères du morceau de craie en bas à droite, tandis qu'en contemplant ce même trait "AB" en [2] nous accédons au propriétés de tous les "AB" du monde.

Or là aussi ce n'est qu'un changement de point de vue, ou de façon de bouger, de la part notre esprit. Platon appelle cette nouvelle façon de bouger "dianoia": le RAISONNEMENT mathématique qui se sert des objets sensibles comme d'autant de modèles, images, imitations d'un niveau de réalité qui reste inaccessible si nous n'allumons pas notre "projecteur géométrique". En somme: pour voir un vrai "segment" en toutes ses propriétés euclidiennes, il nous faut activer notre capacité de visualisation rationnelle, de même qu'au cinéma nous devons faire tourner la pellicule, sans quoi aucune lumière ne pourra rien nous nous montrer. Dans le cas de la géométrie c'est la même chose: la "lumière" de la perception sensible ne sera jamais suffisante: il faut mettre activement en marche notre pensée logique (pour cette raison dite "dis-cursive") car autrement aucun "segment" n'apparaitra jamais devant notre attention.

Bref, un segment AB - ainsi qu'une note dans une mélodie - n'existe qu'à l'intérieur du raisonnement mathématique qui dit: "Soit donné le segment AB", et qui nous montre ensuite la globalité de ses mouvements au sein de ce que pour cette raison "cinématographique" s'appelle depuis toujours un "théorème" (= une "vision").


Pour l'instant donc, nous retenons ces trois moments (4,3,2): il faut s'y exercer, les pratiquer, les faire et les refaire en imagination/visualisation.

FICHE 2 - La clarté de la science

[SECTION 2 - Le raisonnement mathématique] «Tu sais, j'imagine, que ceux qui s'appliquent à la géométrie, à l'arithmétique ou aux sciences de ce genre, [A] posent à la base [hypo-thèse] le pair et l'impair, les figures, trois sortes d'angles et d'autres choses de la même famille, pour chaque recherche différente; [B] qu'ayant supposé ces choses comme s'ils les connaissaient ils ne daignent en donner raison ni à eux-mêmes ni aux autres, estimant qu'elles sont claires pour tous; [C] qu'enfin, partant de là, ils déduisent ce qui s'ensuit et finissent par atteindre, de manière conséquente, l'objet que visait leur enquête. Je sais parfaitement cela, dit-il. - Tu sais donc [D] qu'ils se servent de figures visibles et raisonnent sur elles en pensant, non pas à ces figures mêmes, mais aux originaux qu'elles reproduisent; leurs raisonnements portent sur le carré en soi et la diagonale en soi, non sur la diagonale qu'ils tracent, et ainsi du reste; des choses qu'ils modèlent ou dessinent, et qui ont leurs ombres et leurs reflets dans les eaux, ils se servent comme d'autant d'images pour chercher à voir ces choses en soi qu'on ne voit autrement que par la pensée – C'est vrai»

Le point [A] ne nous pose pas de problèmes. Considérons "le pair et l'impair, les figures, trois sortes d'angles et d'autres choses de la même famille..." chez Euclide. Quant au "pair et l'impair", ce sont les Définitions qui ouvrent les livres arithmétiques (VII-IX) de ses Eléments qui s'en occupent:

    [Arithmétique - Définitions]

  1. Nombre "pair" est un nombre divisible par deux.
  2. Nombre "impair" est un nombre non divisible par deux, ou différent d'une unité d'un nombre pair.

Quant aux "figures, trois sortes d'angles" etc., elles se trouvent dans les Définitions et les Postulats du I° Livre:

    [Géometrie - Définitions]

  1. Un point est ce dont il n'y a aucune partie.
  2. Une ligne est une longueur sans largeur.
  3. Les limites d'une ligne sont des points.
    [Postulats]

  1. Que l'on puisse mener une ligne droite de tout point à tout point.
  2. Que l'on puisse prolonger continûment en ligne droite une ligne droite limitée.
  3. Que l'on puisse tracer un cercle à partir de tout centre et au moyen de tout segment.
  4. Que tous les angles droits soient égaux entre eux.

Tout cela, nous le jugeons parfaitement clair, ainsi que Socrate le dit en [B] à propos des mathématiciens en général, qui "supposent ces choses comme s'ils les connaissaient ils ne daignent en donner raison ni à eux-mêmes ni aux autres, estimant qu'elles sont claires pour tous". Ici,retenons bien notre sentiment de parfaite clarté. Cette clarté parfaite se montre en ce que nous n'arrivons même pas à comprendre en quel sens tout cela pourrait "faire problème" (la dissertation de Philo nous demande justement de savoir "problématiser", rendre problématique ce qui apparemmment ne pose aucun problème).

C'est bien de ce phénomène d'une clarté aussi absolue que trompeuse que parle Descartes lorsqu'il dit que pour avoir une vraie connaissance de quelque chose, il nous faut non seulement la clarté de sa notion, mais aussi sa "distinction". Nous pouvons donc considérer les livres VI et VII de la République de Platon comme l'acte de naissance de cette dyade conceptuelle fondamentale: Connaissance = Clarté X Distinction.

En effet, tout le souci de Platon est de faire comprendre qu'une "parfaite clarté" est, bien au contraire de ce que l'on pense, un très mauvais signe

Observos

Ce que vous ne comprenez pas est sans aucun doute : 1) en quel sens peut-on dire que le mathématicien fait "comme si" il possedait en effet une vraie connaissance du "nombre pair" ou des "fractions", lorsqu'il affirme que "n" est pair s'il est divisible par 2 (n=2m), ou que la "fraction" n/2 exprime la division d'un certain nombre "n" en autant de parties que sont les unités au "dénominateur". Les images - les "eidola!" - utilisées dans les manuels sont en effet parfaitement claires.

En Fig.4 nous avons "ligne des nombres" entiers et naturels, à partir de l'"unité u" (la même representation avec des segments en est donnée par Euclide en personne)... et tout cela nous apparaît parfaitement compréhensible:

dichotomie
Fig.4

dichotomie
Fig.5

D'autre part, vous ne comprenez pas 2) en quel sens le géometricien fait "comme si" il connaissait la méthode pour dichotomiser un segment lorsqu'il suit les instructions d'Euclide, et qu'il connaît les théorèmes de référence Eléments.Prop.I,1 + Prop.10 ] :

dichotomie
Fig.6

Or c'est précisement de cette auto-persuasion absolue que Socrate parle lorsqu'il dit que les mathématiciens "ne daignent pas donner raison" de ce qu'ils font, ni à eux mêmes ni à personne d'autre lorsqu'ils posent à la base de leurs demonstrations certains objets qui se présentent comme parfaitement auto-suffisants quant à leur pouvoir de se faire connaitre. Sur cela, nous allons y revenir tout de suite.

Quant au point [C], Socrate ne fait ici que parler du processus démonstratif dans le sens le plus classique et connu. L'"objet visé" dans la Prop.1 du livre I des Eléments est le triangle équilatéral construit sur un segment donné:

dichotomie
Fig.7

    Sur un segment donné construire un triangle équilatéral

  1. Soit donné le segment AB
  2. En faisant de A le centre et de AB le rayon, traçons le cercle ACD
  3. En faisant de B le centre, et de BA le rayon, traçons le cercle ACE
  4. Du point d’intersection C de ces deux cercles, menons les droites CA et CB, joignant respectivement les points A et B au point C
  5. Conclusion: le triangle ABC est équilatéral car il est formé par les trois rayons de deux cercles égaux.

Et finalement, quant au point [D] Socrate parle d'un caractère logique immédiat du discours du mathématicien, qui n'appartient qu'à la section 2 de la Ligne: lorsqu'il dit « le cercle ACE est égal au cercle ACD », le mathématicien ne parle pas de ce dessin noir devant nous, mais de tout cercle redoublé à partir du rayon d'un autre cercle, qui sera nécessairement égal à ce dernier en ce que nous ne contemplons ici que les caractères essentiels du Cercle « en soi ».

Bref, tout cela ne vous apparaît aucunement problématique. Peut être vous ne diriez pas que votre prof. de maths vous apprend les propriétés du cercle « en soi », ou du cercle « intelligible », mais vous êtes néanmoins: 1) absolument certains que le « cercle » dont le géomètre parle en Fig. 6 et 7 n’est ni l’objet matériel en craie (ou en encre) que vous percevez sur le tableau – comme nous venons de le voir à propos de la Fig.2 – ni une chose ronde comme le gâteau dans la Fig. 5, car s’il en était ainsi aucune propriété universelle à propos du cercle ne pourrait être connue grâce à un seul exemplaire parmi une infinité d’autres ; 2) absolument convaincus de comprendre parfaitement que cela signifie que de diviser en deux la totalité des nombres en obtenant de la sorte les deux sous-ensembles des « nombres pairs » (= 2n) et des « nombres impairs » (différents de 2n), ou de diviser en deux un segment donné selon la méthode montrée en Fig.6.

Fixons donc bien ces deux certitudes que vous hébergez dans votre esprit, et sur cette base continuons notre lecture:

«Je disais en conséquence que les objets de ce genre sont du domaine intelligible, mais que, pour arriver à les connaître, l'âme est obligée d'avoir recours à des hypothèses : qu'elle ne procède pas alors vers un principe - puisqu'elle ne peut remonter au delà de ses hypothèses - mais emploie comme autant d'images les originaux du monde visible, qui ont leurs copies dans la section inférieure, et qui, par rapport à ces copies, sont regardés et estimés comme clairs et distincts. – Je comprends que ce que tu dis s'applique à la géométrie et aux arts de la même famille.

nous comprenons à peu près ce qu’affirme Socrate. Ainsi que son interlocuteur le dit, nous sommes en train de parler de l’ « intelligible » (le « cercle en soi » etc.) qui est saisi grâce à une image sensible, et nous comprenons aussi que cela est vrai pour toutes les ainsi dites « sciences apriori ». Par contre, nous ne comprenons pas que cela veut dire que ces mêmes sciences, en ce qu’elles utilisent les objets concrets, « les originaux du monde visible » (ces « choses en craie » que sont en fait les dessins des géomètres) ne peuvent pas parvenir au « principe ». Pour cette même raison, nous n’allons strictement rien comprendre de ce que Socrate affirme à propos de la « deuxième division du monde intelligible » (section 1 en Fig.2), ou s’exerce ce qu’il appelle la « puissance de la dialectique »:

Comprends maintenant que j'entends par deuxième division du monde intelligible celle que la raison même atteint par la puissance de la dialectique, en faisant des hypothèses qu'elle ne regarde pas comme des principes, mais réellement comme des hypothèses, c'est-à-dire des points de départ et des tremplins pour s'élever jusqu'au principe universel qui ne suppose plus de condition; une fois ce principe saisi, elle s'attache à toutes les conséquences qui en dépendent, et descend ainsi jusqu'à la conclusion sans avoir recours à aucune donnée sensible, mais aux seules idées, par quoi elle procède, et à quoi elle aboutit. – Je te comprends un peu, mais point suffisamment – car il me semble que tu traites un sujet fort difficile.

Pourquoi ne comprenez-vous point ce que Socrate affirme sur cette partie de la ligne ? Essentiellement à cause de la double certitude que vous nourrissez sur la nature et sur la parfaite clarté des notions mathématiques élémentaires. Il y a la "totalité des nombres", que vous posez « par définition » ou « par convention » etc., et cette totalité si évidente se subdivise en nombres pairs et nombres impairs. Ceci est absolument clair : qu’est-ce qu’il y a de plus « universel » et inconditionnement évident d’une telle vérité élémentaire ? Quelle sorte de « tremplin » devrait donc pouvoir nous faire élever mathématiquement plus haut du lieu où nous mène cette vérité inébranlable ?

La même chose vaut naturellement pour notre segment dichotomisé : une fois tracé notre segment AB sur le tableau, et accepté que nous ne sommes pas en train de parler de l’objet en craie… que voulons-nous de plus du point de vue mathématique ? D’accord… nous pourrons bien philosopher autour de tout cela, mais ce ne sera enfin que du divertissement culturel, et pas du tout quelque chose qui pourrait nous enrichir comme scientifiques, car de ce point de vue, tout ce qu’il faut savoir nous le savons déjà rien qu’en disant : « soit donné le segment AB etc…» ! Or c’est précisément de cette certitude que parle Socrate lorsqu’il affirme que les géomètres et les mathématiciens en général « ne daignent donner raison » de ce qu’ils affirment ni à eux-mêmes ni aux autres, estimant que ces choses sont claires pour tous ».

Cette fiche 2 s’arrête sur ce point/charnière, qui est enfin le pivot même autour duquel tourne toute la philosophie occidentale : d’un côté il y a la connaissance mathématique qui se prétend absolument claire et par là même définitive et auto-suffisante ; de l’autre côté il y a la connaissance « dialectique » qui affirme que cela n’est pas vrai, non seulement d’un point de vue vaguement « philosophique » mais d’un point de vue directement et intimement scientifique . Or c’est pour cette raison apparemment contradictoire que les mathématiques constituent l’épine dorsale de toute l’éducation platonicienne – et donc occidentale, depuis 2500 ans – : car comme Socrate le dit, il n’y a rien de mieux des mathématiques non pas pour calculer et mesurer, mais pour nous éveiller à la vraie connaissance du monde qui nous entoure.

Le TEXTE - "Des objets qui reveillent"

Parmi les objets de la sensation les uns n'invitent point l'esprit à l'examen, parce que les sens suffisent à en juger, tandis que les autres l'y invitent instamment, parce que la sensation, à leur sujet, ne donne rien de sain.

Par "objets ne provoquant point l'examen", répondis-je, j'entends ceux qui ne donnent pas lieu, en même temps, à deux sensations opposées; et je considère ceux qui y donnent lieu comme provoquant l'examen, puisque, qu'on les perçoive de près ou de loin, les sens n'indiquent pas qu'ils soient ceci plutôt que le contraire.

Voici trois doigts, le pouce, l'index et le majeur. Conçois que je les suppose vus de près; maintenant, fais avec moi cette observation : chacun d'eux nous paraît également un doigt; peu importe à cet égard qu'on le voie au milieu ou à l'extrémité, blanc ou noir, gros ou mince, et ainsi du reste. Dans tous ces cas, l'âme de la plupart des hommes n'est pas obligée de demander à l'entendement ce que c'est qu'un doigt, car la vue ne lui a jamais témoigné en même temps qu'un doigt fût autre chose qu'un doigt. Il est donc naturel, repris-je, qu'une pareille sensation n'excite ni ne réveille l'entendement.

Mais quoi? la vue discerne-t-elle bien la grandeur et la petitesse des doigts, et à cet égard lui est-il indifférent que l'un d'eux soit au milieu ou à l'extrémité? et n'en est-il pas de même pour le toucher à l'égard de l'épaisseur et de la minceur, de la mollesse et de la dureté? et les données des autres sens ne sont-elles pas pareillement défectueuses? N'est-ce pas ainsi que chacun d'eux procède? D'abord le sens préposé à la perception de ce qui est dur a charge de percevoir aussi ce qui est mou , et il rapporte à l'âme que le même objet lui donne une sensation de dureté et de mollesse. Il en est ainsi.

Or, n'est-il pas inévitable qu'en de tels cas l'âme soit embarrassée et se demande [aporousa aïnittétai]ce que signifie [ti pote semaïneï] une sensation qui lui présente une même chose comme dure et comme molle? De même dans la sensation de la légèreté et dans celle de la lourdeur que doit-elle entendre par léger et par lourd si l'une lui signale que le lourd est léger, et l'autre que le léger est lourd? 524b En effet, dit-il, ce sont là d'étranges témoignages pour l'âme et qui réclament l'examen. Il est donc naturel, repris-je, que l'âme appelant alors à son secours le raisonnement et l'intelligence tâche de se rendre compte si chacun de ces témoignages porte sur une chose ou sur deux . […] Et si elle juge que ce sont deux choses, chacune d'elles lui paraît une et distincte de l'autre. Oui. Si donc chacune lui paraît une, et l'une et l'autre deux, elle les concevra comme séparées; car si elles n'étaient pas séparées elle ne les concevrait pas comme étant deux mais une . C'est exact.

La vue a perçu la grandeur et la petitesse non point séparées, mais confondues ensemble , n'est-ce pas? Oui. Et pour éclaircir cette confusion, l'entendement est forcé de voir la grandeur et la petitesse non plus confondues, mais séparées , contrairement à ce que faisait la vue. C'est vrai. Or, n'est-ce pas de là que nous vient d'abord la pensée de nous demander ce que peuvent être la grandeur et la petitesse? Si fait. Et c'est de la sorte que nous avons défini l'intelligible et le visible ».

Et le nombre et l'unité, dans quelle classe les ranges-tu? Je ne sais, répondit-il. Eh bien, juges-en d'après ce que nous venons de dire. Si l'unité est perçue en elle-même, de façon satisfaisante, par la vue ou par quelque autre sens, elle n'attirera pas 524e notre âme vers l'essence, non plus que le doigt dont nous parlions tout à l'heure; mais si la vue de l'unité offre toujours quelque contradiction , de sorte qu'elle ne paraisse pas plus unité que multiplicité, alors il faudra un juge pour décider ; l'âme est forcément embarrassée, et, réveillant en elle l'entendement, elle est contrainte de faire des recherches et de se demander ce que peut être l'unité en soi ; c'est ainsi que la perception de l'unité est de celles qui conduisent et tournent l'âme vers la contemplation de l'être.

Certes, dit-il, la vue de l'unité possède ce pouvoir à un très haut degré, car nous voyons la même chose à la fois une et multiple jusqu'à l'infini. Et s'il en est ainsi de l'unité, poursuivis-je, il en est de même de tout nombre? Sans doute.

Or, la logistique et l'arithmétique portent tout entières sur le nombre? Certainement. Ce sont par conséquent des sciences propres à conduire 525b à la vérité. Oui, éminemment propres. Elles sont donc, semble-t-il, de celles que nous cherchons, car l'étude en est nécessaire au guerrier pour ranger une armée, et au philosophe pour sortir de la sphère du devenir et atteindre l'essence, sans quoi il ne serait jamais arithméticien. C'est vrai dit-il.

Mais notre gardien est à la fois guerrier et philosophe? Sans doute. Il conviendrait donc, Glaucon, de prescrire cette étude par une loi, et de persuader à ceux qui doivent remplir les plus hautes fonctions publiques de se livrer à la science du calcul , non pas superficiellement, mais jusqu'à ce qu'ils arrivent, par la pure intelligence, à connaître la nature des nombres; et de cultiver cette science non pas pour la faire servir aux ventes et aux achats, comme les négociants et les marchands, mais pour l'appliquer à la guerre, et pour faciliter la conversion de l'âme du monde de la génération vers la vérité et l'essence. Très bien dit.

Et j'aperçois maintenant, après avoir parlé de la science des nombres, combien elle est belle et utile, sous bien des rapports, à notre dessein, à condition qu'on l'étudie pour connaître et non pour trafiquer. Qu'admires-tu donc si fort en elle? Ce pouvoir, dont je viens de parler, de donner à l'âme un vigoureux élan vers la région supérieure, et de l'obliger à raisonner sur les nombres en eux-mêmes , sans jamais souffrir qu'on introduise dans ses raisonnements des nombres visibles et palpables. Tu sais en effet ce que font les gens habiles en cette science : si l'on essaie, au cours d'une discussion, de diviser l'unité proprement dite, ils se moquent et n'écoutent pas . Si tu la divises, ils la multiplient d'autant, dans la crainte qu'elle n'apparaisse plus comme une, mais comme un assemblage de parties. C'est très vrai, dit-il. Que crois-tu donc, Glaucon, si quelqu'un leur demandait : « Hommes merveilleux, de quels nombres parlez-vous? Où sont ces unités, telles que vous les supposez, toutes égales entre elles, sans la moindre différence, et qui ne sont pas formées de parties? » que crois-tu qu'ils répondraient? Ils répondraient, je crois, qu'ils parlent de ces nombres qu'on ne peut saisir que par la pensée , et qu'on ne peut manier d'aucune autre façon.

Tu vois ainsi, mon ami, que cette science a l'air de nous être vraiment indispensable, puisqu'il est évident qu'elle oblige l'âme à se servir de la pure intelligence pour atteindre la vérité en soi. Oui, elle est remarquablement propre à produire cet effet. Mais n'as-tu pas observé que les calculateurs-nés sont naturellement prompts à comprendre toutes les sciences, pour ainsi dire, et que les esprits lourds, lorsqu'ils ont été exercés et rompus au calcul, même s'ils n'en retirent aucun autre avantage, y gagnent au moins celui d'acquérir plus de pénétration. C'est incontestable, dit-il. Au reste, il serait difficile, je pense, de trouver beaucoup de sciences qui coûtent plus à apprendre et à pratiquer que celle-là. Certes. Pour toutes ces raisons, il ne faut pas la négliger, mais y former les meilleurs naturels. Je suis de ton avis. Voilà donc, repris-je, une première science adoptée.