MATHEMATISATIONS

EUCLIDE

nombres et grandeurs

Soient données deux grandeurs inégales. Si en procédant par soustractions successives de la plus petite à la plus grande, la grandeur qui reste à chaque soustraction ne mesure jamais la grandeur qui la précède dans cette succession, alors les deux grandeurs sont incommensurables»[Euclide Eléments X,1]

«Soient donnés deux nombres inégaux, et que l’on procède par soustractions successives. Si on soustrait toujours et autant de fois qu’il est possible le plus petit du plus grand, et que le nombre restant à chaque soustraction ne mesure jamais le nombre qui le précède dans cette succession, jusqu’à ce que l’on obtienne comme reste l’unité, alors les deux nombres de départ sont premier entre eux » [Euclide Eléments VII,1]

nombres et grandeurs schéma

Les Eléments VII,5

Euclide VII,6

Si un premier nombre est la partie d’un deuxième nombre, la même qu’un troisième nombre l’est d’un quatrième, alors le premier et le troisième pris ensemble sont la même partie du deuxième et du quatrième que le premier par rapport au deuxième.

Euclide VII,5 - partie d'un nombre

Soit A un nombre-partie du nombre-entier BC, et soit le nombre D la même partie par rapport au nombre-entier EF. J’affirme que la somme de A et D est cette même partie par rapport à la somme de BC et EF. Puisque A est la même partie de BC – o meros... to auto meros – , que D de EF, alors il y aura autant de nombres – osoi rithmoi ;.. égaux à A en BC qu’il y en a – tosoutoi– d’égaux à D en EF. Partageons alors BC en les nombres BG et CG égaux à A, et EF en les nombres EH et FH égaux à D : la quantité de nombres BG…GC, sera égale – ison to pléthos...tô plethéï - à la quantité de nombres EH…FH . Puisque BG est égal à A, et FH est égal à D, alors BG+FH seront égaux à A+D, et pour cette même raison GC+HE seront égaux à A+D. Donc en BC il y a autant de nombres égaux à A, qu’en BC+FE il y de nombres égaux à A+D. Donc EC est autant de fois multiple de A que la somme de BC+FE est multiple de la somme A+D. Donc la même partie que A est par rapport à BC, cette même partie l’est la somme A+D par rapport à la somme BC+FE.

Euclide VII,6

Lorsqu'un nombre est les mêmes parties d'un autre nombre qu'un troisième l'est par rapport à un quatrième, aussi la somme du premier et du troisième sera par rapport à la somme du deuxième et du quatrième les mêmes parties que le premier au deuxième. Soit le nombre AA1 par rapport au nombre B les mêmes parties que CC1 par rapport à D. J'affirme que la somme AA1+CC1 et par rapport à la somme B+D les mêmes parties que AA1 par rapport a B.

Puisque AA1 est par rapport à B les mêmes parties que CC1 l'est par rapport à D, il y aura autant de parties de B en AA1 qu'il y en A de D en CC1. Subdivisons donc AA1 selon les parties AP,PA1 et CC selon les parties CP,PC1. Le nombre de parties AP,PA1 sera le même que le nombre de parties CP,PC1. Puisque d'ailleurs AP est une partie qui mesure B selon le même rapport suivant lequel CP mesure D, la partie que AP est par rapport à B sera la même que la somme AP+CP par rapport à la somme B+D. Pour cette même raison PA1 est par rapport à B la même partie que la somme PA1+PC1 est par rapport à la somme B+D. Donc AA1 est par rapport à B les mêmes parties que la somme AA1+CC1 est par rapport à la somme B+D. CVD

Euclide VII,6

Ceci est le théorème §5 des livres arithmétiques des Eléments où le nombre qui dans les §1-4 est saisi en ses lois générales de mesure interne (le metron qui lie son tout, ses parties, et ses monades) devient susceptible d’une détermination quantitative effective : la mêmeté d’une pure proportionnalité s’y transforme en égalité to auto meros devient osoi… tosoutoi [autant…que] c'est-à-dire une quantité absolue, obtenue grâce à un dénombrement, qui n’est praticable que grâce au nombre même – ce nombre-ci, à côté de ces moutons – dont nous sommes en train d’articuler l’interne duplicité dimensionnelle, étant donné son phénomène représentationnel. Il s’agit donc, tant en Euclide qu’en Cantor, du déploiement d’une structure dyadique de dénombrant à dénombré, sans que l’on sorte jamais du domaine de la représentation donnée d’un nombre déterminé, saisi en sa présence symbolique élémentaire, dans notre discours sur le monde.

LES 7 THESES SIMON STEVIN

  1. THESE 1 - Que l'unité est nombre

  2. THESE 2 - Que nombres quelconques peuvent être nombres carrés, cubiques, de quarte quantité etc.

  3. THESE 3 - Que racine quelconque et nombre.

  4. THESE 4 - Qu'il n'y a aucuns nombres absurdes, irrationnels; irreguliers; inexplicables ou sourds.

  5. THESE 5 - Que nombres comme 1.2.3 , ou 12.10.6.4 et semblable ne font pas proportion arithmétique.

  6. THESE 6 - Que nombre comme 2.4.8, ou 2.3.4.6 et semblables, ne font pas proportion géométrique mais arithmétique

  7. Thèse 7 - Que nombres comme 153 144 136 et semblables ne font pas proportion harmonique

Le premier livre d'Arithmétique. Des définitions.

Première partie. Définitions de l'Arithmétique et des Nombres Arithmétiques

Par ce que l’Arithmétique (ce qui est aussi commun aux autres arts) s’explique par mots comme signes de l’affection de l’âme, il nous faut premièrement décrire la signification des propres vocables de cette science. Car avant que l’on comprenne la matière de la doctrine, il convient entendre les mots par lesquelles on l’explique. Nous ferons donc notre premier livre de leurs définitions décrivant toujours du commencement (autant qu'il nous sera possible) ce qui consiste premier en la nature.

AVERTISSEMENT A L'APPRENTIS

Vu qu'il viendra bien à point sous aucune définitions, d'aragumenter des propriétés des nombres (lesquelles l'apprentis pour le premier n'est pas tenu de savoir) il me semble bon l'avertir comment nous avons appliqué tels arguments distinctement avec leurs titres sous leurs définitions, afin que pour le premier se contentant des définitions et de leurs explications, il puisse à son plus grand profit les passer outre.

Definition I. - Arithmétique est la science des nombres

Definition II. Nombre est cela par lequel s’explique la quantité de chaque chose

Explication - Comme l’unité est nombre par lequel la quantité d’une chose se dit "un", et deux par le quel on la nomme deux, et demi par lequel on la nomme demi, et racine de trois par lequel on la nomme racine de trois etc.

QUE L’UNITE EST NOMBRE

Plusieures personnes voulant traiter de quelque matière difficile ont pour costume de déclarer comment beacoup d’empêchement les ont détournés en leur conception, comme autres occupations plus nécessaires, de ne s’être longuement exercés en telle étude et … [...]

Nous voulons faire le semblable en ce que nous voulons traiter de l’Unité, mais non pas en vérité, car je n’ai point seulement lu à bon loisir, et sans l’empêchement d’autres affaires, tous les philosophes anciens et modernes que je trouvais traiter de cette matière, mais j’ai aussi communiqué de bouche avec quelques doctes certes de ces temps pas des moindres, et en cette matièere d’autres opinions que nous. Mais pourquoi cela ? Par ce que je doutais en ce que je proposais de l’unité ? Nons certes, car j’en étais aussi aussuré, comme si la nature même me l’avait dit de sa propre bouche, voire je le voyais (comme feront aussi de bref ce qui ne sont pas du tout aveugles…)

Or donc pour venir à la matière. Il est notoire que l’on dit vulgairement que l’unité ne soit point nombre mais seulement son principe ou commencement, et tel en nombre comme le point en la ligne ; ce que nous nions et que nous pouvons argumenter en cette sorte:

La partie est de même nature que son entier
L’unité est partie de multitudes d’unités.
Ergo l’unité est de même nature que la mutlitude d’unités.
Mais la nature de multitude d’unités est nombre.
Donc la nature de l’unité est nombre.

Et qui le nie fait comme celui qui nie qu’une pièce de pain soit du pain. Nous pourrions aussi ainsi:

Si du nombre donné on ne soustrait nul nombre, le nombre donné demeure.
Soit trois le nombre donné, et du même soustrayons un, qui n’est point nombre comme tu veux, donc le nombre trois démeure, qu’il en reste encore trois, ce qui est absurde.

Nous pourrions aussi réciter plusieures subtiles et sophistiques questions, qui nous ont été proposées de bouche par les plusieurs susdites personnes, ensemble notre réfutation, d’icelles, mais les omettant (car il emplirait bien un particulier et grand volume) et afin de ne perdre huile et labeur, venons aux causes mêmes, la connaissances desquelles donne parfaite intelligence.

Il faut donc savoir que les hommes jadis voyans qu’il leur était métier de parler et avoir intelligence de la quantité des choses, ils nomaient chaque chose simple, un, et quant à la même était appliquée encore une autre, les appelaient ensemble deux, et quand la porposée simple chose était divisée en deux parties égales, ils nommaient chacune partie démi, tiers, etc. Pui considérans que un, deux, trois démi, tiers etc. était noms propres et convénables pour l’explication de la dite quantité, ils ont vu qu’il était nécessaire de comprendre toutes ces espèces sous un genre (car telle est leur manière de fair en tous autres semblables comme blé, orge, avoine...ils les nommes en genre Grain ; aigle, torturelle, rosignol, en genre Oiseau) lequel genre ils appellerons nombre. Tant donc par les principes ou causes mêmes chacun d’eux nombre, sans doute ils suivent leur opinion errante, qui en après, sans considération des causes, ont exclu l’unité.

Le 0 et non pas l'unité est le commencement du nombre

Mais quelqu’un me pourra maintenant dire selon la commune sentance des philosophes, que pour traiter ordonnement de quelque quantité, la nature témoigne qu’il faut commencer de son principe, comment il apparaît de la quantité grande, de la quelle le manifeste principe est le point. Mais il y a ici question de la quantité qui se dit nombre. Il y faut donc dire du principe ou commencement du nombre. Certes je ne le concède pas simplement, mais je l’affirme par la suivante définition car vu que la communauté et similitude de grandeur et nombre est si universelle qu’il semble quasi identité, sans doute le nombre aura quelque chose en soi qui se refère au point. Mais que sera-ce ? Ils disent l’unité.

O heure infortunée en la quelle fut premièrement produite cette définition en principe du nombre. O cause de difficulté et obscurité de ce qui en la Nature est facile et claire ! O dommageable advis de ce qui l’ont concédé […] Mais quelle communauté, je vous supplie, il y a entre l’unité et le point , certe nulle servant au propos, car deux unités, comme ils le disent, font nombre, mais deux, voire miles points ne font pas ligne. L’unité est divisible en parties, même s'ils le nient. Mais mille leur distinctions ne sont pas... de pouvoir ainsi opprimer la nature du nombre, qu’elle ne manifeste par force son essence (... les Arithmétiques opérations de plusieurs auteurs comme entre autres par l’absolute partition de l’unité de la 33 question du 4 livre et la 11,12,13,14 ;15 question du cinquième livre du Prince des Arithméticiens Diophante.).

Le point est indivisible. L’unité est partie du nombre. Le point n’est pas partie de la ligne, et ainsi des autres. L’unité donc n’est point telle en nombre ce même le point en ligne.

Qu’est ce que donc lui correspond ? Je dis que c’est ce qui se dit vulgairement Nul, et que nous nommons commencement en la suivante 3. définition - ce que ne témoignent pas seulement leurs parfaites et générales communautés mais aussi leurs irréfutables effets.

LES COMMUNAUTES sont telles.
Comme le points joint de la ligne, ainsi est 0 ajoint du nombre et lui-même pas nombre.
Comme le point ne se divise pas en parties, ainsi le 0 ne se divise pas en parties.
Comme beaucoup de points, voir et qu’ils fussent en quantité infinie ne font pas ligne, ainsi beaucoup de 0 , encore qu’ils fussent en multitudes infinies, ne fon pas nombre.
Comme la ligne AB ne peut augmenter par addition du point, ainsi se peut du nombre D6 augmenter par l’addition de E0 , car ajoutant 0 à 6 ne font ensemble que 6.
Mais si l’on concède que AB soit prolongé jusqu’au point C , et semblablement si l’on concède que D6 soit prolongé jusqu’à E , ainsi que DE60 soit un continu nombre faisant soixante, alor D6 augmente par l’aide du nul 0.

Quant aux EFFETS, nous pouvons dire du commencement de quantité algébrique défini à la suivante 14 définition, aussi du commencement défini à la deuxième définition de la DISME, par les constructions desquelles il apparaît que le 0 est le vrai et naturel commencement, lequel comme ferme fondement nous a conduit à quelques inventions décrites (telles qu’elle sont au suivants). Mais prenons comme exemples les tables de Ptolémée, Alfonse, Nicolas Coperne, Taha de Montréal et semblable, [dans lesquelles] la description ou signification du point géométrique se rencontre souvent entre les nombres.

Prenons par exemple les tables de Sinus de Jean de Montreal là où chaque degré est une ligne oblique, de laquelle la longuer est 1/360 de la périphérie du cercle, l’extrémité delaquelle est le point mathématique dont nous avons dit ci-dessus. Mais avec quoi est signifié chacun de ceux qui sont jusqu’à nonante? Certes, (en mon exemplaire) par 0 au commencement de chaque colonne, et semblables exemples sont fort communs en plusieurs autres tables. Or si encore le 0 n'est pas en nombre ce que le point est en ligne, lesdits grands mathématiciens voire la nature avec eux, ont tous failli. Soit ainsi donc, au point je réfère quelque autre chose que 0, posons que ce soit selon votre opinion 1, et en examinons la vérité, mettant 1 pour le commencement ou extrême point (par exemple du 3° degré, auquel correspond 523360 (je parle ici de la table de jean de Montreal, là ou le demi dyamètre fait 10000000) mais ceci est faux, car à 1 correspnd 526265 : ou bien pour voir double rencontre il apparaît que 0, commencement du nombre, correspond à 0, point et commencement du quadrant, à l’ncotre duquel tu veux mettre 1, mais 1 correspond à 2909. Donc 1 ne signifie pas le point, mais 0 ; et qui ne le peut voir l’auteur de la Nature aye pitié de ses infortunés yeux, car la faute n’est pas à l’objet, mais à sa vue.

QUE NOMBRE N’EST POINT QUANTITE DISCONTINUE - Nous pouvons ici décrire plusieurs inconvénients du susdit faux fondement, mais vi qu’il y aurait matière d’un traité particulier, et ne sera pas ici son lieu. Mais par ce que nous avons dit ici que 6 prolongé jusqu’en 0 fait un continu nombre de soixante, contre le vulgaire : nombre est quantité discontinue ou disjointe, il nous faut encore réfuter cette impropre définition ainsi: Tout ce qui n’est qu’une quantité n’est point quantité disjointe. - Soixante, selon qu’il est nombre, est une quantité (à savoir un nombre.) - Soixante donc , selon qu’il est nombre n’est point quantité disjoincte.

Quant à ce que vous divisiez par votre imagination cette proposée, unique et entière quantité en soixante unites (ce que vous pourriez faire par même raison en trente dualités, ou vingt trinités etc.) et que puis après vous définez le divisé, ce n’est pas définition du proposé dont il est question : vous pourrez semblablement diviser la proposée grandeur par l’imagination en soixante parties et par même raison définir cette même quantité discontinue, ce qui est absurde.

Comme donc la générale communauté de grandeur et nombre aux autres ainsi à celui-ci, à une continue grandeur correspond le continu nombre qu’on lui attribue, et telle discontinuité que puis après reçoit la grandeur par quelque division, semblable discontinuité reçoit aussi son nombre.

Et àfin d’en parler par exemple, le nombre est quelque chose telle en grandeur comme l’humidité en l’eau , car comme celle-ci s’étend partout et en chaque partie de l’eau , ainsi le nombre destiné à quelque grandeur, s’étend partout et à chaque partie de sa grandeur; item comme à une continue eau correspond une continue humidité, ainsi à une continue grandeur correspond un continu nombre ; item comme la continue humidité de l’entière eau souffre la mène division et disjonction que la grandeur ; de sorte que les deux quantités ne peuvent distinguer par continue et discontinue, dont nous pourrions exhiber plusieurs arguments … nous le concluons par cette leur contradiction. Nombres – disent-ils – est quantité disjointe et ailleurs au contraire Nombre est quantité conjointe ou composée de multitudes d’unités. Certes si les unités sont conjointes, elles ne sont pas disjointes, ni par conséquent leur conjonction ne produit point quantité disjointe. Nous accomplirons le reste par la première thèse de nos Thèses mathématiques.

Definition III - Les caractères par lequel se dénotent les nombres sont dix ; à savoir 0, signifiant commencement de nombre, Et 1. Un, …. Et 9.neuf.

Définition IV - Chaque trois charactères d’un nombre s’appellent membre.

Définition V - Le premier charactère du premier membre commençant à droite vers la gauche, signifie simplement sa valeur, le second autant de fois dix qu’il contient d’unités, le troisième autant de fois cent qu’il contient d’unités ; et le premier charactère du second membre autant de fois mille qu’il contient d’unités, et ainsi par dixième progression des autres charactères contenus en tout nombre proposés. Eplication ….

Definition VI - Nombre arithmétique est celui qu’on explique sans adjectif de grandeur.
Explication - Le nombre a deux espèces, desquelles une est expliquée par adjectif de grandeur, comme le nombres carrés, cubiques, racines, quantiteés etc. Lesquelles nous appelons nombres géométriques, et seront définis à la seconde partie suivante ; l’autre espèce est simplement expliquée sans le dit adjectif, comme un deux, trois, trois cinquièmes etc. Nous appelons tels nombres, par distinctions de l’autre espèce, Nombres Arithmétiques.

Définition VII - Nombre entier est unité composée multitude d’unités.

Définition VIII - Nombres entre eux premiers sont ceux qui n’ont point de multitude d’unités pour commune mesure. - Explication - Comme 5 et 7, où 10 et 13 et semblables : par ce qu’ils n’ont point de multitudes d’unités qui leur sont commune mesure, s’appellent nombres entre eux premier.

Definition IX - Nombres entre eux composés sont ceux qui ont multitudes d’unités pour commune mesure.
Explication - Comme 9 et 12 par ce que nombre de multitude d’unités, à savoir 3, est leur commune mesure, ils s’appellent nombres entre eux composés.

Définition X - Nombre rompu, est partie ou parties de nombre entier . Comme étant un divisé en trois parties égales, une des mêmes est nombre rompu, qu’on décrit ainsi 1/3 et s’appelle un tiers. Où étant 1 partie un quatre parties égales, trois des mêmes est nombre rompu, qu’on décrit ainsi, et s’appelle trois quarts, ou étant 1 partie en trois parties égales septes de telles parties est nombre rompu, qu’on décrit ainsi 7/3 et s’appelle sept troisièmes.

Definition XI - Numérateur de rompu est le nombre supérieur expliquant la multitude de parties y contenues
Explication [….]

Definition XI - Nominateur du rompu, est le membre inférieur, expliquant sa qualité. Soient trois quart écrits ainsi 3/4 : l’inférieur nombre donc 4 par ce qu’il explique sa qualité ou qu’il nomme quel rompu, s’est à savoir un rompu de quartes, on l’appelle nominateur

Definition XIII - Rompu premier, et celui duquel le numérateur et nominateur sont nombres entre eux premiers

Cybernétisation

Le passage « ON --> “ON-et-non-pas-OFF” » trace pour Bateson une ligne de démarcation très distincte entre tout système/partie-de-système qui est « sensible à la différence », et tout système/partie-de-système qui ne réagit qu’à des impulsions de matière/énergie. Dans ce dernier cas, nous n’aurons en effet que des « actions-->réactions » – dans le sens du Troisième Principe de la physique de Newton : « à toute action correspond une réaction égale et contraire » –, tandis que lorsqu’une sensibilité à la « différence » est présente, elle caractérise toujours une dynamique de « action-->rétroaction » réfléchissante et projective, au travers de laquelle la totalité du système s’auto-dirige en vue d’une certaine situation envisagée dans le « futur » à partir d’une certaine situation jouant le rôle de « passé » et dont le résultat est (évidemment) constaté dans le présent. Lorsqu’un dynamisme d’action --> rétro-action est agissant dans un système donné, il cohabite toujours, nécessairement, avec une dimension qui dépasse la simple action -->-action.

« [1] Les caractéristiques « mentales » sont inhérentes ou immanentes à l’ensemble considéré comme totalité. Cet aspect holistique est évident même dans des systèmes auto-correcteurs très simples. Dans la machine à vapeur à « régulateur » le terme même de régulateur est une appellation impropre, si l’on entend par à que cette partie exerce un contrôle unilatéral. Le régulateur est essentiellement un organe sensible (ou un transducteur) qui modifie la différence entre la vitesse réelle à laquelle tourne le moteur et une certaine vitesse idéale ou, du moins, préférable. L’organe sensible convertit cette différence en plusieurs différences d’un message efférent : par exemple, l’arrivée du combustible ou le freinage. [2] Autrement dit, le comportement du régulateur est déterminé par le comportement des autres parties du système et indirectement par son propre comportement à un moment antérieur. Le caractère holistique et mental du système est le mieux illustré par ce dernier fait, à savoir que le comportement du régulateur (et de toutes les parties du circuit causal) est partiellement déterminé par son propre comportement antérieur. Le matériel du message (les transformations successives de la différence) doit faire le tour complet du circuit : le temps nécessaire pour qu'il revienne à son point de départ est une caractéristique fondamentale de l'ensemble du système. Le comportement du régulateur (ou de toute autre partie du circuit) est donc, dans une certaine mesure, déterminé non seulement par son passé immédiat, mais par ce qu'il était à un moment donné du passé, moment séparé du présent par l'intervalle nécessaire au message pour parcourir un circuit complet. Il existe donc une certaine mémoire déterminative, même dans le plus simple des circuits cybernétiques » [Bateson 1971 :231-232]

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Considérons l’exemple de Bateson en [1], en le décomposant selon une dimension action/reaction et une dimension action/rétroaction. Une partie P1 du système S{P1…Pn} « machine à vapeur » est le « governor », tandis qu’une partie P2 est la valvule qui ouvre/ferme l’entrée de la vapeur :


Figure 1

En t1 les poids tournent lentement le levier reste baissé et la valvule reste fermée. - En t2 la force centrifuge augmente, les poids se lèvent et la valvule s’ouvre.

A ce niveau, l’interaction P1<-->P2 n’est qu’une action/-action se déroulant selon le cité Troisième Principe. La description «(t1) les poids se baissent --> la valvule s’ouvre / (t2) les poids se lèvent --> la valvule se ferme » établit un rapport de causalité physique par contact entre la partie matérielle P1 « governor » et la partie matérielle P2 « valvule ». Chaque fois que P1 agit sur P2, cela produit un rebondissement de P2 sur P1, mais à ce niveau il ne s’agit que de la réaction immanente à tout épisode d’action d’une force quelconque dans la durée Deltat1-->2. La réaction P2-->P1 ne concerne donc que le segment causal P1/P2, et se déroule en continuité logique et temporelle avec l’action P1-->P2 à l’intérieur d’une même inter-ation P1<-->P2 ), qui n’héberge donc aucun vide, aucune intermédiation et aucun « troisième temps ».


Figure 2

Lorsqu’en revanche nous considérons l’action/rétroaction P1<-->P2, c'est que le segment dynamique P1/P2 fait insécablement partie de la totalité S{P1…Pn}: et c'est bien de cette insécable totalité que jaillit le troisième temps "intermédiaire" dont parle Bateson en [2]. En fait, la rétroaction de P2 sur P1 signifie que la partie P2 sur la quelle la partie P1 vient d’agir ne se borne pas à "ré-agir" physiquement à cette action partielle (partie d'action globale), car ce qui a lieu est au contraire une inter-action entre les parties d'un tout; une inter-action, donc, qui ne prend corps que dans la totalité de leur appartenance commune.

La Fig.3 (un train à vapeur) montre bien que la rétroaction P2-->P1 prend forme non pas dans l’espace dyadique P2×P1, mais à l'intérieur de la totalité ternaire S{P2×P1} qui modifie en conséquence ses comportements externes, se réverbérant à leur tour au niveau des interactions entre les parties P1 et P2: un caractère « holistique » qui appartient à tout système capable d’autodirection.


Figure 3

Maintenant attention, car c'est justement sur la soi disant nécessité structurelle d’une durée de temps intermédiaire entre le moment de l’action et le moment de la rétro-action que Gregory Bateson fonde toute son « épistémologie de la cybernétique » et sa vision spiritualiste de l’écologie et des "systèmes sociaux" :

« Autrement dit, le comportement du régulateur est déterminé par le comportement des autres parties du système, et indirectement par son propre comportement à un moment antérieur. Le caractère holistique et mental du système est le mieux illustré par ce dernier fait, à savoir que le comportement du régulateur (et de toutes les parties du circuit causal) est partiellement déterminé par son propre comportement antérieur. Le matériel du message (les transformations successives de la différence) doit faire le tour complet du circuit : le temps nécessaire pour qu’il revienne à son point de départ est une caractéristique fondamentale de l’ensemble du système. Le comportement du régulateur (ou de toute autre partie du circuit) est donc, dans une certaine mesure, déterminé non seulement par son passé immédiat, mais par ce qu’il était à un moment donné du passé, moment séparé du présent par l’intervalle nécessaire au message pour parcourir un circuit complet. Il existe donc une certaine mémoire déterminative, même dans le plus simple des circuits cybernétiques. La stabilité du système (lorsqu’il fonctionne de façon autocorrective dépend de la relation entre le produit opératoire de toutes les transformations de différences, le long du circuit, et de ce temps caractéristique. Le régulateur n’exerce aucun contrôle sur ces facteurs. Même un régulateur humain, dans un système social, est soumis à ces limites : il est contrôlé à travers l’information fournie par le système, et doit adapter ses propres actions à la caractéristique de temps et aux effets de sa propre action antérieure» [Ibid.]

La durée de temps qui s’interpose entre un comportement intrasystémique et le contrôle sur son déroulement est donc selon Bateson essentiellement due au « caractère holistique » du système. Chaque comportement d’une partie donnée doit préalablement « faire le tour complet d’un circuit » pour que l’on puisse parler d’un apprentissage réussi, ou d’une erreur à corriger.

Et pourtant, Bateson se trompe lorsqu’il fait coïncider le temps structurellement exigé par la configuration formelle d’un cycle de feedback, et la durée de temps nécessaire pour qu’un engin technique assemblé par l’homme accomplisse un cycle complet d’auto-contrôle cybernétique.

En réalité, la nécessité systémique qu'un « troisième temps » s’interpose entre une « action » physique et la « ré-action » qui fait suite, pour que l'on puisse proprement parler d'une rétro-action, cette structurelle nécessité d'un "t3" n'implique aucunement que ce "t" soit une durée : nous ne parlons pas ici d'un prétendu « temps de réaction » qu'il faudrait nécessairement attendre chaqu fois qu'une action qulquonque a été propulsée. Bien au contraire, la nécessité d’un troisième temps signifie ici, qu'un troisième événement extrasystémique(3) (ralentissement/accélération du train) doit s'interposer entre l’événement intrasystémique(1) – une première action de P1 sur P2 – et l’événement intrasystémique(2): une deuxième action de P1 sur P2. Ce troisième événement a comme sujet logique le système global S(P1xP2) en son inter-action avec l’environnement externe. Par conséquent, si tout système cybernétique doit « adapter ses propres actions à la caractéristique de temps et aux effets de sa propre action antérieure », la nature de cette « caractéristique de temps » ne réside pas dans la nécessité qu’une certaine durée de temps s’écoule, mais qu’un événement se produise ayant comme sujet logico/métaphysique le système S(P1xP2) en sa totalité : le train ralentit/accélère.

Il est donc évident que Bateson part de la conviction - tout à fait dogmatique et paralogique - d’une coïncidence immédiate entre un événement dans le temps et une durée de temps, comme nous pouvons l’entendre dans le passage ci-dessous :

« La théorie des types logiques affirme que, si l’on contrevient à ces règles du discours formel, on aboutit à un paradoxe, et de ce fait le discours sera vicié. Cette théorie traite donc de matières très abstraites ; son origine se trouve dans l’univers abstrait de la logique : lorsqu’on peut prouver que telle et telle sucession de propositions engendre un paradoxe, tout l’ensemble d’axiomes, de théorèmes etc., impliqué dans l’engendrement de ce paradoxe est de ce fait anéanti , réduit à zéro, comme s’il n’avait jamais existé. Mais dans le monde réel (ou du moins dans les descriptions que nous en faisons) il y a le temps, et rien de ce qui a été ne peut être totalement annulé de cette façon : par exemple, l’ordinateur qui rencontre un paradoxe (dû à une erreur de programmation) n’est pas anéanti pour autant. La relation si...donc dans la logique ne contient pas de temps, mais dans l’ordinateur ce sont la cause et l’effet qui sont utilisé pour simuler le « si...donc » logique ; et toutes les séquences de cause et effet impliquent inévitablement le temps. »

Cette façon de parler du temps par rapport à la logique et à la réalité des « séquences de cause et effet » n’est pas tout à fait rigoureuse. Que nous en sachions, personne n’a jamais pris contact avec la « logique » en dehors du temps. En revanche, il est indéniable que la séquence causale action-réaction immanente au contact entre la valvule e le gouvernor est « dans le temps » (comme la Logique) mais cette séquence ne demande néanmoins qu’un seul instant pour se mettre en place.


Figure 4


Figure 5


Figure 6


Figure 7


Figure 8